jikamenemukan soal seperti ini maka pertama kita harus ingat terlebih dahulu misalkan kita punya persamaan matriks yang isinya adalah matriks A dikali matriks X B = matriks b maka matriks X itu sama dengan invers dari matriks A dikalikan dengan matriks B kemudian misalkan kita punya matriks A yang isinya adalah a b c d dan matriks B yang isinya adalah efgh maka invers dari matriks A itu adalah 1 atau terminal matriks A dikalikan dengan matriks yang isinya D min b min c dan a dengan

Jakarta - Soal induksi matematika berisi tentang rumus atau teknik pembuktian dalam matematika. Teknik induksi matematika diperkenalkan oleh De Morgan pada abad dari buku 'Matematika Diskrit' karya Gede Suweken, induksi matematika memiliki dua prinsip yakni prinsip induksi lemah dan prinsip induksi Prinsip Induksi Matematika LemahPrinsip ini dinyatakan dengan Pn adalah suatu pernyataan tentang suatu bilangan asli n, dan q adalah suatu bilangan asli yang tertentu fixed.Maka bukti induktif bahwa Pn adalah benar untuk semua n ≥ q dilakukan melalui 2 dua langkah berikuta. Langkah awal Tunjukkan bahwa Pq adalah Langkah induksi Tunjukkan bahwa untuk k 2 q bilangan asli, jika Pk benar, maka Pk+1 juga dua langkah di atas, maka terbukti bahwa Pn benar untuk semua bilangan asli n ≥ q. Induksi matematika versi ini dikatakan lemah, karena pada langkah induksinya mengasumsikan Pn benar untuk satu n di sini tidak berarti bahwa bukti yang ditampilkan kurang soal induksi matematika lemahPerhatikan contoh soal induksi matematika berikut bahwa 1+2+3+...+n=½nn+1 untuk semua n bilangan Pn adalah pernyataan bahwa 1+ 2+ 3+ ... + n/2 nn+1. Tujuan kita adalah menunjukkan bahwa pernyataan Pn tersebut benar untuk semua n bilangan awal Kita harus menunjukkan bahwa P1 benar. Dalam hal ini P1 adalah pernyataan yang bunyinya 1=11+1, yang tentu saja benar. Jadi P1 Induksi Kita harus menunjukkan bahwa jika Pk benar, Pk+1 juga hal ini jika, 1 + 2 + 3 + ... + k = 1/2 kk+1 apakah 1 + 2 + 3 +...+ k + k+ 1 = ½ k+ 1 k+1+1= ½ k+1k+2?Tentu saja 1+2+3+...+k+ k+1= ½ kk+1 + k+1 = k+1[2k + 1] = k+1 k+2 = ½ k+1 k+2.Jadi jika Pk benar, ternyata Pk+1 juga benar. Dengan dua bukti tersebut maka Pn, pernyataan bahwa 1+2+3+...+ n = ½ nn+1 adalah benar untuk semua n bilangan Prinsip Induksi Matematika KuatDalam hal ini, proses induksi tidak cukup hanya menunjukkan bahwa jika pernyataan P benar untuk satu kasus k ≥ q tapi juga benar untuk pernyataan k+1, yaitu pernyataan Pk+1.Dalam hal tersebut harus ditunjukkan bahwa P benar untuk semua kasus Pq+1, Pq+2, Pq+3,..., Pk.Jadi proses pembuktian Induksi Matematika secara kuat strong mathematical induction bahwa Pn benar untuk semua n ≥ q adalah sebagai berikuta. Langkah awal Tunjukkan bahwa Pq benarb. Langkah induktif Tunjukkan bahwa untuk k 2 q, jika Pq+1, Pq+2, Pq+3, ..., dan Pk benar, maka Pk+1 juga pembuktian ini adalah kuat dalam artian bahwa dalam langkah pembuktian induktifnya. Kita memiliki lebih banyak informasi dibandingkan dengan pembuktian yang sifatnya soal induksi matematika kuatTunjukkan bahwa setiap bilangan asli lebih dari 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali atas faktor-faktor P adalah pernyataan bahwa setiap bilangan asli lebih dari 1 dapat dinyatakan sebagai hasil kali atas faktor-faktor primanya. Tentu saja P2 P3, P4, P5, ..., Pk benar. Bagaimana menunjukkan bahwa Pk+1 juga benar?Jika k+1 adalah bilangan prima, maka Pk+1 benar. Jika k+1 bukan bilangan prima, maka k+1 = mn, dengan m dan n bilangan-bilangan asli kurang dari pengandaian sebelumnya maka, m dan n tentu saja bisa dinyatakan sebagai produk dari bilangan-bilangan prima. Sebagai akibatnya, k+1 juga merupakan hasil kali dari bilangan-bilangan contoh soal induksi matematika lengkap dengan pembahasannya. Selamat belajar detikers! Simak Video "Kata IDI Soal Pemanggilan Dokter Tanpa Gelar " [GambasVideo 20detik] pay/pay

Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya, Pembuktian – Induksi matematika merupakan materi ilmu matematika yang paling sering dijumpai, apalagi kalau menempuh pendidikan di jurusan IPA. Ini merupakan perluasan dari logika matematika. Meskipun terlihat sederhana, namun sebenarnya membutuhkan kecermatan tersendiri. Untuk itu, perlu memahami contoh soal induksi matematika dan jawabanya. Induksi matematika merupakan metode pembuktian tertentu secara deduktif guna melakukan pembuktian dari pernyataan benar maupun salah. Ini melibatkan proses berpikir dalam menarik suatu kesimpulan tertentu berdasarkan kebenaran apa yang berlaku secara umum. Mengenal Apa Itu Induksi Matematika Daftar IsiMengenal Apa Itu Induksi Matematika Sejarah Induksi Matematika Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Prinsip Induksi Matematika Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Daftar Isi Mengenal Apa Itu Induksi Matematika Sejarah Induksi Matematika Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Prinsip Induksi Matematika Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Bagi pecinta ilmu matematika pasti sudah tidak merasa asing dengan yang namanya induksi matematika. Induksi matematika adalah semacam cara maupun metode pembuktian absah guna membuktikan pernyataan matematika benar atau salah. Induksi matematika merupakan metode penalaran yang bersifat deduktif. Jadi, induksi matematika dipakai untuk melakukan pembuktian universal terkait statement matematika tertentu. Contohnya, teori graf, teori bilangan serta kombinatorika. Pecinta matematika memakai induksi matematika guna memberikan penjelasan terkait pernyataan matematika yang sudah diketahui kebenarannya. Prinsip induksi matematika bisa dijelaskan secara umum yakni asumsi induktif serta induksi dasar. Induksi matematika membutuhkan kecermatan tersendiri, meskipun terlihat cukup sederhana. Agar bisa memahami induksi matematika dengan baik, maka sebaiknya mencari tahu tentang contoh soal induksi matematika dan jawabannya lengkap. Sejarah Induksi Matematika Tahukah Anda bahwa induksi matematikan sudah ada sejak lama. Induksi matematika bermula pada akhir dari abad ke 19 yang juga dipelopori oleh dua orang matematikawa bernama Dedikind dan R. Dedekind. Kedua tokoh tersebut tengah mengembangkan sekumpulan aksioma yang mampu menggambarkan bentuk bilangan yaitu bilangan positif. Peano memperbaiki bagian aksioma tersebut serta memberikannya interpretasi yang jauh lebih logis. Kemudian, semua aksioma tersebut dinamakan Postulat Peano dan ditemukan sekitar tahun 1890an. Lalu, ini disebut sebagai rumusan formula bagi konsep bilangan asli. Sejumlah hukum atau ketentuan Postulat Peano diantaranya 1 merupakan anggota N. Tiap-tiap anggota x N memiliki prinsip pengikut yakni px ∈N. Dua bentuk bilangan di N yang memiliki perbedaan juga memiliki pengikut berbeda. 1 bukan menjadi pengikut dari bilangan x N manapun. Apabila subhimpunan S C N memuat 1 bagian dan pengikut lainnya dari setiap bilangan di S, maka S – N. Ini sudah pasti dan tidak terelakan lagi. Langkah-Langkah Mengerjakan Induksi Matematika Induksi matematika sebetulnya merupakan semacam metode yang dipakai guna melakukan pemeriksaan terkait validasi pernyataan dalam himpunan bilangan positif maupun himpunan bilangan asli. Agar bisa melakukan pembuktian seperti ini, maka dibutuhkan dua langkah penting. Langkah Basis Langkah basis merupakan langkah awal untuk melakukan pembuktian induksi matematika. Langkah basis menunjukkan suatu pernyataan yang berlaku untuk bilangan 1. Langkah Induksi Setelah langkah basis, ada langkah induksi. Langkah induksi menunjukkan bahwa apabila pernyataan itu berlaku untuk suatu bilangan n = k, maka pernyataan tersebut juga berlaku bagi bilangan n = k + 1. Prinsip Induksi Matematika Ketika ingin mempelajari induksi matematika, maka sebaiknya cermati prinsip-prinsipnya terlebih dahulu. Setidaknya ada 4 prinsip yang harus dicermati saat membuktikan induksi matematika, diantaranya seperti berikut. Basis = tunjukkan p1 adalah benar. Induksi = misalnya pn adalah benar untuk seluruh bilangan positif n = 1 Langkah induksi memuat asumsi yang menyatakan tentang p n adalah benar. Asumsi ini disebut sebagai hipotesi induksi. Kesimpulan = pembuktian bahwa p n+1 adalah benar. Contoh Soal Induksi Matematika dan Jawabannya Lengkap Agar Anda bisa lebih memahami tentang induksi matematika, maka sebaiknya simak contoh soal induksi matematika dan jawabannya. Dengan demikian, Anda bisa benar-benar memahami dan menguasai materi ini secara maksimal. Soal 1 Buktikanlah jika 32n + 22n + 2 benar-benar habis dibagi 5. Agar bisa membuktikannya, maka sebaiknya Anda menerapkan beberapa tahapan diantaranya Langkah Pertama 321 + 221+2 = 32 + 24 = 9 + 16 = 25, jadi benar-benar habis dibagi 5. Hal ini terbukti. Langkah Kedua Menggunakan 2 n = k 32k + 22k + 2 Langkah Ketiga = k + 1 = 32k+1 + 222k+2 = 32k+2 + 22k+2+2 = 3232k + 2222k+2 = 1032k + 522k+2 – 32k – 22k+2 = 10 32k + 5 22k+2 – 32k + 22k+2 Diperoleh 10 32k sudah habis dibagi 5, 522k+2 sudah habis dibagi 5 dan –32k + 22k+2 juga habis dibagi 5. Semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan memakai induksi matematika bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. Cari tahu basis induksi terlebih dahulu yaitu 20 = 20+1 – 1. Jadi, sangat jelas bahwa 20 = 1 Jika pn benar, yakni 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 adalah benar, maka tunjukkan bahwa pn+1 juga benar 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1 juga benar, maka tunjukkan bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 20 + 21 + 22 + … + 2n + 2n+1 = 2n+1 – 1 + 2n+1 hipotesis induksi. = 2n+1 + 2n+1 – 1 = – 1 = 2n+2 – 1 = 2n+1+1 – 1 Maka dapat dibuktikan bahwa semua bilangan bulat tidak negatif n, terbukti bahwa 20 + 21 + 22 + … + 2n = 2n+1 – 1. Soal 2 Buktikan bahwa jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2. Temukan terlebih dahulu basis induksi. Untuk n = 1, maka jumlah satu buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah 12 = 1. Hal ini benar karena jumlah dari satu buah bilagan ganjil yang positif pertama ialah 1. Terapkan induksi dengan mengandaikan pn benar, yakni 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2 Selanjutnya, perlihatkan bahwa p n+1 juga benar yakni 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = n + 12 adalah benar. Hal ini bisa ditunjukkan dengan uraian berikut. 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 + 2n + 1 = [1 + 3 + 5 + … + 2n – 1] + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n2 + 2n + 1 = n + 12 Karena baik langkah basis maupun induksi keduanya sudah ditunjukkan dengan benar, maka total jumlah n buah dari bilangan ganjil positif pertama ialah n2. Soal 3 Coba buktikan 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2. Pn = 1 + 3 + 5 + … + 2n – 1 = n2. Maka akan mampu menujukkan Pn benar untuk tiap-tiap n N. Langkah Pertama Contoh soal induksi matematika dan jawabannya ini pasti mampu mempermudah Anda. Jika menghadapi soal seperti ini, sebaiknya lakukan langkah pertama terlebih dahulu. Langkah awal akan menunjukkan bahwa p1 adalah benar 1 = 12. Jadi, p1 adalah benar. Langkah Induksi Berikutnya, bisa langsung menerapkan langkah induksi. Ibaratkan saja jika Pk adalah benar, yaitu 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = k2, k N 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k + 12 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 = k2 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k2 + 2k + 1 – 1 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k2 + 2k + 1 1 + 3 + 5 + … + 2k – 1 + 2k + 1 – 1 = k + 12 Berdasarkan uraian tersebut, maka diketahui bahwa pn adalah benar bagi masing-masing n dari bilangan asli. Soal 4 Coba buktikan jika 6n + 4 sudah habis dibagi 5 untuk tiap-tiap n N. Sama seperti contoh soal induksi matematika dan jawabannya yang lalu, pada soal ini Anda juga perlu membuat langkah awal dan induksi. Langkah Awal Langkah ini akan menunjukkan jika p1 adalah benar. 61 + 4 = 10 habis dibagi oleh angka 5. Hal ini membuktikan bahwa p1 adalah benar. Langkah Induksi Berikutnya adalah langkah induksi. Pada langkah induksi, ibaratkan saja pk adalah benar, maka 6k + 4 sudah habis dibagi dengan angka 5, k N. Hal ini akan menunjukkan pk + 1 adalah juga benar yaitu 6k+1 + 4 juga habis dibagi angka 5. 6k+1 + 4 = 66k + 4 6k+1 + 4 = 56k + 6k + 4 Jika 56k telah habis dibagi 5 dan 6k + 4 juga habis dibagi 5, maka 56k + 6k + 4 juga pasti akan dibagi habis dengan angka 5. Jadi, pk + 1 adalah benar. Soal 5 Buktikanlah bahwa bagi setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2. Persis seperti cara sebelumnya, sebaiknya Anda buat langkah basic dan induksi. Langkah Awal n = 1 12 = 1/6 1 1 + 1 1 + 2 1 = 1 adalah benar terbukti. Langkah Induksi n = k 1 + 3 + 5 + … + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2 juga adalah benar. Dengan demikian jelas terbukti bahwa setiap n N dan n0 N berlaku seperti 1 + 3 + 5 + … + nn + 1/2 = 1/6 n n + 1 n + 2. Tentu ini menjadi soal paling sederhana, diantara soal-soal lainnya. Contoh soal induksi matematika dan jawabannya tersebut kiranya bisa membuat Anda jauh lebih memahami tentang ilmu sains ini. Apalagi jika Anda langsung mempraktikannya. Dijamin, ilmunya akan selalu melekat di kepala. Klik dan dapatkan info kost di dekat kampus idamanmu Kost Dekat UGM Jogja Kost Dekat UNPAD Jatinangor Kost Dekat UNDIP Semarang Kost Dekat UI Depok Kost Dekat UB Malang Kost Dekat Unnes Semarang Kost Dekat UMY Jogja Kost Dekat UNY Jogja Kost Dekat UNS Solo Kost Dekat ITB Bandung Kost Dekat UMS Solo Kost Dekat ITS Surabaya Kost Dekat Unesa Surabaya Kost Dekat UNAIR Surabaya Kost Dekat UIN Jakarta

sinikau miliki soal yang perintahnya diketahui bahwa 1 min 1 per 3 dikali 1 per 4 dikali 1 min 1 per 5 dikali 1 min 1 per 6 dan seterusnya per 2015 kali 1 Min t f 2016 = n Min 2013/2016 nomor dengan Sorry nih Kecamatan 1 Min sepertiga adalah 2 per 300 per 4 adalah 3 atau 45 adalah 4 per 55 per 6 dan seterusnya sehingga ada pola di sini di mana 6 per 7 + 1 Min menjadi 2014 ini menjadi 2015-2016 sebagai yang terakhir sehingga jika kita tulis bisa menjadi seperti bentuk ini2 per 3 dikali 3 per

Namunyang membedakannya proses kecepatan belajar. pada suatu saat ada peserta didik yang belajar dalam 1-3 pertemuan. ada juga yang membutuhkan 3 pertemuan lebih untuk dapat memahami materi Dengan kata lain, Belajar tergantung kondisi dan keadaan seseorang untuk memahami materi. baik itu cuaca, suasana, perasaan dan lingkungan yang mempengaruhi.

Vektor merupakan salah satu materi matematika peminatan mathematics- extended/further yang dipelajari oleh siswa kelas X jurusan MIPA Tingkat SMA. Secara singkat, vektor merupakan besaran yang memiliki nilai sekaligus arah. Kadang vektor juga disebut sebagai garis berarah garis yang memiliki panah, di mana panjang garis mewakili nilai vektor, sedangkan panah mewakili arah vektor. Untuk memperkuat pemahaman konsep tentang vektor, berikut disajikan sejumlah soal dan pembahasannya. Semoga bermanfaat dan dapat dijadikan sumber pembelajaran. Unduh soal di tautan berikut Download PDF. Today Quote Ketika yang lain bisa berlari, janganlah iri karena dirimu hanya bisa berjalan. Bersyukurlah sebab ada yang hanya bisa merangkak demi sampai ke garis finis. Bagian Pilihan Ganda Soal Nomor 1 Diketahui vektor $\vec a = \widehat{i}+2\widehat{j}-3\widehat{k}$, $\vec b = 3\widehat{i}+5\widehat{k}$, $\vec c=-2\widehat{i}-4\widehat{j}+\widehat{k}$, dan $\vec u= 2 \vec a + \vec b- \vec c$. Vektor $\vec u$ adalah $\cdots \cdot$ A. $5\widehat{i}+6\widehat{j}+\widehat{k}$ B. $3\widehat{i}-2\widehat{j}-2\widehat{k}$ C. $2\widehat{i}-2\widehat{j}$ D. $7\widehat{i}+8\widehat{j}-2\widehat{k}$ E. $7\widehat{i}-8\widehat{j}-2\widehat{k}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 1,2,-3 \\ \vec b & = 3,0,5 \\ \vec c & = -2,-4,1 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} \vec u & = 2 \vec a + \vec b-\vec c \\ & = 21,2,-3+3,0,5-2,-4,1 \\ & = 2,4,-6+3,0,5+2,4,-1 \\ & = 2+3+2,4+0+4,-6+5-1 \\ & = 7,8,-2 \end{aligned}$$Jadi, vektor $\vec u$ adalah $\boxed{7\widehat{i} + 8\widehat{j}-2\widehat k}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 2 Diketahui $A1,2,3,B3,3,1$, dan $C7,5,-3$, Jika $A,B$, dan $C$ segaris kolinear, maka $\vec{AB} \vec{BC}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $1 2$ D. $5 7$ B. $2 1$ E. $7 5$ C. $2 5$ Pembahasan Karena $A, B, C$ segaris, maka vektor yang dibentuk oleh dua dari tiga titik itu akan saling berkelipatan memiliki perbandingan. Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui $\begin{aligned} \vec{AB} & = B-A = 3,3,1-1,2,3 \\ & =2,1,-2 \\ \vec{BC} & = C-B = 7,5,-3-3,3,1 \\ & = 4,2,-4 \end{aligned}$ Dengan demikian, $\begin{aligned} \dfrac{\vec {AB}}{\vec {BC}} & = \dfrac{2,1,-2}{4,2,-4} \\ & = \dfrac{\cancel{2,1,-2}}{2\cancel{2,1,-2}} = \dfrac12 \end{aligned}$ Jadi, $\boxed{\vec{AB} \vec{BC} = 1 2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 3 Diketahui bahwa $\vec{a} = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix}, \vec{b} = \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}$, dan $\vec{c}= \begin{pmatrix} 3 \\-4 \\ 5 \end{pmatrix}$. Jika $\vec{a} \perp \vec{b}$, maka hasil dari $\vec a + 2 \vec b-\vec c = \cdots \cdot$ A. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}$ D. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 12 \end{pmatrix}$ B. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 6 \end{pmatrix}$ E. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 14 \end{pmatrix}$ C. $\begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 10 \end{pmatrix}$ Pembahasan Karena $\vec a \perp \vec b$ saling tegak lurus, maka $\vec a \bullet \vec b = 0$ sehingga ditulis $\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix} & = 0 \\ 14 + 24 + -3m & = 0 \\ 4+8-3m&=0 \\-3m&=-12 \\ m &=4 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} \vec a + 2 \vec b- \vec c & = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-3 \end{pmatrix} + 2 \begin{pmatrix} 4 \\ 4 \\ m \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 3 \\-4 \\ 5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 1+8-3 \\ 2+8-4 \\-3+8-5 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix} \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\vec a + 2 \vec b-\vec c = \begin{pmatrix} 6 \\ 14 \\ 0 \end{pmatrix}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 4 Diketahui vektor $\vec a= \widehat{i}+2\widehat{j}-x\widehat{k}$, $\vec b = 3\widehat{i}-2\widehat{j}+\widehat{k}$, dan $\vec c= 2\widehat{i}+\widehat{j}+2\widehat{k}$. Jika $\vec a \perp \vec c$, maka nilai dari $\vec a + \vec b \bullet \vec a-\vec c$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4$ C. $0$ E. $4$ B. $-2$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\vec a = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}~~~~\vec b = \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}~~~~\vec c = \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}$ Karena $\vec a \perp \vec c$ saling tegak lurus, maka $\vec a \bullet \vec c = 0$ sehingga ditulis $\begin{aligned} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix} & = 0 \\ 12 + 21 + -x2 & = 0 \\ 2+2-2x&=0 \\-2x&=-4 \\ x &=2 \end{aligned}$ Dengan demikian, $$\begin{aligned} & \vec a + \vec b \bullet \vec a- \vec c \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-x \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & = \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\-2 \\ 1 \end{pmatrix}\right] \bullet \left[\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\-2 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{pmatrix}\right] \\ & =\begin{pmatrix} 4 \\ 0 \\-1 \end{pmatrix} \bullet \begin{pmatrix}-1 \\ 1 \\-4 \end{pmatrix} \\ & = 4-1+01+-1-4 = 0 \end{aligned}$$Jadi, hasil dari $\boxed{\vec a + \vec b \bullet \vec a-\vec c = 0}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 5 Diketahui vektor $\vec u = 3\widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k}$ dan $\vec v = 3\widehat{i}+9\widehat{j}-12\widehat{k}$. Jika vektor $2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka nilai $a = \cdots \cdot$ A. $-1$ C. $1$ E. $3$ B. $-\dfrac13$ D. $\dfrac13$ Pembahasan Diketahui $\vec u = 3,2,-1$ dan $\vec v = 3,9,-12$ Misalkan $\vec x = 2 \vec u- a \vec v$ sehingga $\begin{aligned} \vec x & = 23,2,-1-a3,9,-12 \\ & = 6,4,-2-3a, 9a,-12a \\ & = 6-3a, 4-9a,-2+12a \end{aligned}$ Karena vektor $\vec x = 2 \vec u-a \vec v$ tegak lurus terhadap $\vec v$, maka haruslah memenuhi $\vec x \bullet \vec v = 0$ sehingga ditulis $$\begin{aligned} 6-3a, 4-9a,-2+12a \bullet 3,9,-12 & = 0 \\ 36-3a + 94-9a + -12-2+12a & =0 \\ 18-9a + 36-81a + 24- 144a & = 0 \\ 78- 234a & = 0 \\-234a & =-78 \\ a & = \dfrac13 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{a = \dfrac13}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 6 Diketahui vektor $\vec u = 2,-1,3$ dan $\vec v =-3,2,6$. Panjang proyeksi vektor skalar $3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$ A. $13\dfrac34$ D. $21\dfrac57$ B. $15\dfrac57$ E. $22\dfrac34$ C. $18\dfrac27$ Pembahasan Misalkan $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ sehingga $\begin{aligned} \vec x & = 32,-1,3 + 2-3,2,6 \\ & = 6,-3,9+-6,4,12 \\ & = 6+-6,-3+4, 9+12 \\ & = 0, 1, 21 \end{aligned}$ Panjang proyeksi vektor skalar $\vec x = 3 \vec u + 2 \vec v$ pada vektor $\vec v$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec x_{\vec v} & = \dfrac{\vec x \bullet \vec v} {\vec v} \\ & = \dfrac{0,1,21 \bullet -3,2,6} {\sqrt{-3^2+2^2+6^2}} \\ & = \dfrac{0-3+12+216} {\sqrt{9+4+36}} \\ & = \dfrac{0+2+126}{\sqrt{49}} \\ & = \dfrac{128}{7} = 18\dfrac27 \end{aligned}$ Jadi, panjang proyeksi vektor skalar dari kedua vektor tersebut adalah $\boxed{18\dfrac27}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui vektor $\vec u = \widehat{i}+2\widehat{j}-\widehat{k}$ dan $\vec v = \widehat{i}+\widehat{j}+m\widehat{k}$. Panjang proyeksi $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\dfrac23\sqrt3$. Bila $m>0$, maka nilai $m+2=\cdots \cdot$ A. $2$ C. $5$ E. $15$ B. $3$ D. $9$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec u & = 1, 2,-1 \\ \vec v & = 1, 1, m \\ \vec u _{\vec v} & = \dfrac23\sqrt3 \end{aligned}$ Dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{\vec v} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{1,2,-1 \bullet 1,1,m}{\sqrt{1^2+1^2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{11 + 21 + -1m}{\sqrt{2+m^2}} \\ \dfrac23\sqrt3 & = \dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \left\dfrac23\sqrt3\right^2 & = \left\dfrac{3-m}{\sqrt{2+m^2}}\right^2 \\ \dfrac{4}{\cancelto{3}{9}} \cdot \cancel{3} & = \dfrac{9-6m+m^2}{2+m^2} \\ \dfrac432+m^2 & = 9-6m+m^2 \\ 8+4m^2 & = 27-18m+3m^2 \\ m^2 + 18m- 19 & = 0 \\ m+19m-1 & = 0 \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh $m =-19$ atau $m=1$. Karena $m>0$, maka dipilih $m=1$ sehingga nilai $\boxed{m+2=1+2=3}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 8 Misalkan $At^2+1,t$ dan $B1,2$ sehingga panjang vektor proyeksi $\vec{OA}$ terhadap $\vec{OB}$ lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt5}$. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $-33$ C. $t1$ D. $-1 \dfrac{4}{\sqrt5} \end{aligned}$ Karena panjang proyeksi vektornya lebih dari $\dfrac{4}{\sqrt5}$, maka kita tuliskan $\begin{aligned} \vec{OA}_{\vec {OB}}& > \dfrac{4}{\sqrt5} \\ \dfrac{\vec{OA} \bullet \vec{OB}}{\vec{OB}} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{t^2+1, t \bullet 1, 2}{\sqrt{1^2+2^2}} & > \dfrac{4}{\sqrt{5}} \\ \dfrac{t^2+11 + t2}{\cancel{\sqrt5}} & > \dfrac{4}{\cancel{\sqrt5}} \\ t^2+1+2t & > 4 \\ t^2+2t-3 & > 0 \\ t+3t-1 & > 0 \end{aligned}$ Pembuat nol $t =-3$ atau $t = 1$. Dengan menggunakan bantuan garis bilangan, uji salah satu nilai $t$ untuk menentukan tanda positif-negatif. Nilai $t$ yang mungkin adalah $\boxed{t1}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 9 Vektor $\vec z$ adalah proyeksi vektor $\vec x =-\sqrt3,3,1$ pada vektor $\vec y =\sqrt{3},2,3$. Panjang vektor $\vec z$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $\dfrac32$ E. $\dfrac52$ B. $1$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec x & = -\sqrt3,3,1 \\ \vec y & = \sqrt3, 2, 3 \end{aligned}$ Panjang proyeksi vektor $\vec x$ pada $\vec y$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} \vec z = \vec x_{\vec y} & = \dfrac{\vec x \bullet \vec y} {\vec y} \\ & = \dfrac{-\sqrt3, 3, 1 \bullet \sqrt3, 2, 3} {\sqrt{\sqrt3^2+2^2+3^2}} \\ & = \dfrac{-\sqrt3\sqrt3+32+13} {\sqrt{3+4+9}} \\ & = \dfrac{-3 + 6 + 3}{\sqrt{16}} \\ & = \dfrac{6}{4} = \dfrac32 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec z$ adalah $\boxed{\dfrac32}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 10 Diketahui $\vec p= \widehat{i}-\widehat{j}+2\widehat{k}$ dan $\vec q= 2\widehat{i}-2\widehat{j}+n\widehat{k}$. Jika panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ adalah $2$, maka $n=\cdots \cdot$ A. $1$ C. $4$ E. $8$ B. $3$ D. $6$ Pembahasan Panjang proyeksi vektor $\vec p$ pada $\vec q$ dinyatakan oleh $\vec p_{\vec q} = \dfrac{\vec p \bullet \vec q} {\vec q}$ Diketahui $\begin{aligned} \vec p & = 1,-1,2 \\ \vec q & = 2,-2,n \\ \vec p_{\vec q} & = 2 \end{aligned}$ Untuk itu, kita peroleh $$\begin{aligned} 2 & = \dfrac{1,-1,2 \bullet 2,-2,n}{\sqrt{2^2+-2^2+n^2}} \\ 2 & = \dfrac{12 + -2-1 + 2n} {\sqrt{4+4+n^2}} \\ 2 & = \dfrac {4+2n} {\sqrt{8+n^2}} \\ 2\sqrt{8+n^2} & = 4+2n \\ \sqrt{8+n^2} & = 2+n \\ \text{Kuadratkan}~&\text{kedua ruas} \\ 8+n^2 & = 2+n^2 \\ 8+\cancel{n^2} & = 4+4n+\cancel{n^2} \\ 8&=4+4n \\ n & = \dfrac{8-4}{4} = 1 \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{n = 1}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 11 Jika $\vec u$ dan $\vec v$ adalah dua vektor satuan yang membentuk sudut $45^{\circ}$, maka $\vec u + \vec v \bullet \vec v = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{2 + \sqrt{2}}{2}$ D. $\sqrt2$ B. $\dfrac{2- \sqrt{2}}{2}$ E. $2\sqrt2$ C. $\dfrac12\sqrt2$ Pembahasan Karena $\vec u$ dan $\vec v$ vektor satuan, maka $\vec u = \vec v =1$ dan juga diketahui $\angle\vec u, \vec v = 45^{\circ}$. Untuk itu, $$\begin{aligned} \vec u + \vec v \bullet \vec v & = \vec u \bullet \vec v + \vec v \bullet \vec v \\ & = \vec u \cdot \vec v \cos 45^{\circ} + \vec v \cdot \vec v \cos 0^{\circ} \\ & = 11\left\dfrac12\sqrt2\right + 111 \\ & = 1 + \dfrac12\sqrt2 = \dfrac{2+\sqrt2}{2} \end{aligned}$$Catatan Besar sudut antara dua vektor yang sama adalah $0^{\circ}$. Jadi, $\boxed{\vec u + \vec v \bullet \vec v = \dfrac{2+\sqrt2}{2}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 12 Diketahui $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ adalah vektor satuan yang membentuk sudut $60^{\circ}$ satu sama lain. Nilai $\vec a + \vec b \bullet \vec b-\vec c = \cdots \cdot$ A. $\dfrac18$ C. $\dfrac12$ E. $2$ B. $\dfrac14$ D. $1$ Pembahasan Karena $\vec a, \vec b$, dan $\vec c$ vektor satuan, maka $\vec a = \vec b = \vec c = 1$ dan juga diketahui $\angle\vec a, \vec b = \angle\vec a, \vec c = \angle\vec b, \vec c = 60^{\circ}$. Untuk itu, $$\begin{aligned} & \vec a + \vec b \bullet \vec b-\vec c \\ & = \vec a \bullet \vec b-\vec a \bullet \vec c + \vec b \bullet \vec b-\vec b \bullet \vec c \\ & = \vec a \cdot \vec b \cos 60^{\circ}-\vec a \cdot \vec c \cos 60^{\circ} + \vec b \cdot \vec b \cos 0 ^{\circ}-\vec b \cdot \vec c \cos 60^{\circ} \\ & = 11\left\dfrac12\right-11\left\dfrac12\right + \\ & 111-11\left\dfrac12\right \\ & = \dfrac12-\dfrac12 + 1-\dfrac12 = \dfrac12 \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\vec a + \vec b \bullet \vec b-\vec c = \dfrac12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 13 Diketahui titik $A1,0,-2,B2,1,-1$, dan $C2,0,-3$. Sudut antara vektor $\vec{AB}$ dengan $\vec{AC}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $30^{\circ}$ D. $90^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ E. $120^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ Pembahasan Untuk $A1,0,-2,B2,1,-1$, dan $C2,0,-3$, diperoleh $$\begin{aligned} \vec{AB} & = B- A = 2,1,-1-1,0,-2 \\ & = 1,1,1 \\ \vec{AC} & = C- A = 2,0,-3-1,0,-2 \\ & = 1, 0,-1 \end{aligned}$$Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{AB} \bullet \vec{AC}} {\vec {AB} \cdot \vec {AC}} \\ & = \dfrac{1,1,1 \bullet 1,0,-1} {\sqrt{1^2+1^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+0^2+-1^2}} \\ & = \dfrac{1+0+-1}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{2}} \\ & = \dfrac{0}{\sqrt6} = 0 \end{aligned}$$Dari $\cos \theta = 0$, diperoleh $\boxed{\theta = 90^{\circ}}$ Jawaban D [collapse] Baca Juga Materi, Soal, dan Pembahasan – Aturan Sinus, Aturan Kosinus, dan Luas Segitiga Menurut Trigonometri Soal Nomor 14 Diketahui vektor $\vec a = 2,-3, 1$ dan $\vec b = 1,-2,3$. Nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac57$ D. $\dfrac{5}{11}\sqrt3$ B. $\dfrac{11}{14}$ E. $\dfrac{2}{7}\sqrt6$ C. $\dfrac{5}{14}\sqrt3$ Pembahasan Misalkan $\theta$ merupakan besar sudut yang terbentuk oleh kedua vektor tersebut. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh $$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {\vec a \cdot \vec b} \\ & = \dfrac{2,-3,1 \bullet 1,-2,3} {\sqrt{2^2+-3^2+1^2} \cdot \sqrt{1^2+-2^2+3^2}} \\ & = \dfrac{2+6+3}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{14}} \\ & = \dfrac{11}{14} \end{aligned}$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri $\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}$ diperoleh $\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1- \left\dfrac{11}{14}\right^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac{121}{196}} = \sqrt{\dfrac{75}{196}} = \dfrac{5\sqrt3}{14} \end{aligned}$ Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac{5\sqrt3}{14}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 15 Diketahui vektor $\vec a =\widehat{i}+\widehat{j}$ dan $\vec b =-\widehat{i}+\widehat{k}$. Nilai sinus sudut antara kedua vektor tersebut adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac12$ D. $\dfrac12\sqrt2$ B. 0 E. $\dfrac12\sqrt3$ C. $\dfrac12$ Pembahasan Bila vektor dinyatakan dalam bentuk koordinat, maka $\vec a = 1, 1, 0$ dan $\vec b = -1, 0, 1$. Misalkan sudut yang terbentuk oleh kedua vektor adalah $\theta$. Kosinus sudut kedua vektor itu dinyatakan oleh $$\begin{aligned} & \cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {\vec a \cdot \vec b} \\ & = \dfrac{1,1,0 \bullet -1,0,1} {\sqrt{1^2+1^2+0^2} \cdot \sqrt{-1^2+0^2+1^2}} \\ & = \dfrac{-1+0+0}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} =-\dfrac{1}{2} \end{aligned}$$Dengan menggunakan Identitas Pythagoras dalam trigonometri $\boxed{\sin \theta = \sqrt{1-\cos^2 \theta}}$ diperoleh $\begin{aligned} \sin \theta & = \sqrt{1-\left-\dfrac{1}{2}\right^2} \\ & = \sqrt{1-\dfrac14} = \sqrt{\dfrac34} = \dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$ Jadi, nilai sinus sudut antar vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\dfrac12\sqrt3}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 16 Panjang vektor $\vec a, \vec b$, dan $\vec a-\vec b$ berturut-turut adalah $3, 4$, dan $\sqrt{37}$. Besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $30^{\circ}$ D. $120^{\circ}$ B. $45^{\circ}$ E. $150^{\circ}$ C. $60^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 3 \\ \vec b &= 4 \\ \vec a-\vec b & = \sqrt{37} \end{aligned}$ Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a-\vec b & = \sqrt{\vec a^2 + \vec b^2- 2\vec a\vec b \cos \theta} \\ \text{Kuadratkan}&~\text{kedua ruas} \\ \sqrt{37}^2 & = 3^2 + 4^2-234 \cos \theta \\ 37 & = 9+16-24\cos \theta \\-24 \cos \theta & = 12 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{24} =-\dfrac12 \end{aligned}$$Untuk $\cos \theta =-\dfrac12$, diperoleh $\theta = 120^{\circ}$ Jadi, besar sudut antara vektor $\vec a$ dan vektor $\vec b$ adalah $\boxed{120^{\circ}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 17 Diketahui titik $A5, 1, 3, B2,-1,-1$, dan $C4, 2,-4$. Besar sudut $ABC = \cdots \cdot$ A. $\pi$ C. $\dfrac{\pi}{3}$ E. $0$ B. $\dfrac{\pi}{2}$ D. $\dfrac{\pi}{6}$ Pembahasan Besar sudut $ABC$ dapat ditentukan dengan menerapkan rumus $\boxed{\cos \theta = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{\vec {AB} \cdot \vec {BC}}}$ Perhatikan bahwa, $\begin{aligned}\vec{AB} & = B- A \\ & = 2,-1,-1-5, 1, 3 \\ & = -3,-2,-4 \end{aligned}$ dan $\begin{aligned}\vec{BC} & = C- B \\ & = 4, 2,-4-2,-1,-1 \\ & = 2, 3,-3 \end{aligned}$ Panjang vektor $\vec{AB}$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec{AB} & = \sqrt{-3^2+-2^2+-4^2} \\ & = \sqrt{9+4+16} \\ & = \sqrt{29} \end{aligned}$ Panjang vektor $\vec{BC}$ dinyatakan oleh $\begin{aligned}\vec{BC} & = \sqrt{2^2+3^2+-3^2} \\ & = \sqrt{4+9+9} \\ &= \sqrt{22} \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh $\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {AB} \bullet \vec{BC}}{\vec {AB}\cdot \vec {BC}} \\ & = \dfrac{-3,-2,-4 \bullet 2, 3,-3}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = \dfrac{-6-6+12}{\sqrt{29} \cdot \sqrt{22}} \\ & = 0 \end{aligned}$ Karena $\cos \theta = 0$, maka $\boxed{\theta = 90^{\circ}=\dfrac{\pi}{2}}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 18 Diketahui $\vec a=2\sqrt3$ dan $\vec b=4$. Jika vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $\vec a +\vec b$, maka sudut antara vektor $\vec a$ dengan vektor $\vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $150^{\circ}$ D. $60^{\circ}$ B. $120^{\circ}$ E. $30^{\circ}$ C. $90^{\circ}$ Pembahasan Diketahui $\vec a = 2\sqrt3; \vec b = 4.$ Karena vektor $\vec a$ tegak lurus dengan $\vec a +\vec b$, maka $\vec a \bullet \vec a + \vec b = 0$. Dari sini, kita peroleh $$\begin{aligned} \vec a \bullet \vec a + \vec a \bullet \vec b & = 0 \\ \vec a \vec a \cos 0^{\circ} + \vec a\vec b \cos \theta & = 0 \\ 2\sqrt{3} \cdot 2\sqrt3 \cdot 1 + 2\sqrt3 \cdot 4 \cdot \cos \theta & = 0 \\ 12+8\sqrt3 \cos \theta & = 0 \\ \cos \theta & =-\dfrac{12}{8\sqrt{3}} \\ & =-\dfrac{3}{2\sqrt3} \times \dfrac{\sqrt3}{\sqrt3} \\ & =-\dfrac{\cancel{3}\sqrt3}{2\cancel{3}} \\ & =-\dfrac12\sqrt3 \end{aligned}$$Karena $\cos \theta =-\dfrac12\sqrt3$, maka nilai $\boxed{\theta = 150^{\circ}}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 19 Diketahui limas $ mempunyai koordinat $T1, 0, 3, A0, 0, 0$, $B5, 0, 0$, dan $C1, 4, 0$. Jika $\theta$ merupakan sudut antara $\vec{TB}$ dan $\vec{TC}$, maka nilai $\cos \theta$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac{9}{25}$ D. $\dfrac{3}{5}$ B. $-\dfrac{3}{5}$ E. $\dfrac{9}{25}$ C. $\dfrac{3}{25}$ Pembahasan Dari koordinat titik yang diberikan, diketahui $\begin{aligned} \vec{TB} & = B- T = 5, 0, 0- 1, 0, 3 \\ & = 4,0,-3 \\ \vec{TC} & = C- T = 1,4,0-1,0,3 \\ & =0,4,-3 \end{aligned}$ Panjang kedua vektor tersebut dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec{TB} & = \sqrt{4^2+0^2+-3^2} = 5 \\\vec{TC} & = \sqrt{0^2+4^2+-3^2} = 5 \end{aligned}$ Kosinus dari sudut antara $\vec{TB}$ dan $\vec{TC}$ dapat ditentukan dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor. $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec {TB} \bullet \vec{TC}}{\vec {TB} \cdot \vec {TC}} \\ & = \dfrac{4,0,-3 \bullet 0, 4,-3}{5 \cdot 5} \\ & = \dfrac{40 + 04 + -3-3}{25} = \dfrac{9}{25} \end{aligned}$$Jadi, nilai $\boxed{\cos \theta = \dfrac{9}{25}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 20 Jika sudut antara vektor $\vec a = \widehat{i}+\widehat{j}-r\widehat{k}$ dan $\vec b = r\widehat{i}-r\widehat{j}-2\widehat{k}$ adalah $60^{\circ}$. Nilai $r$ positif yang memenuhi adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ C. $0$ E. $-\sqrt2$ B. $1$ D. $-1$ Pembahasan Diketahui $\vec a = 1, 1,-r, \vec b = r,-r,-2$ dan $\angle\vec a, \vec b = \theta = 60^{\circ}.$ Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{\vec a \cdot \vec b} \\ & = \dfrac{1,1,-r \bullet r,-r,-2}{\sqrt{1^2+1^2+-r^2} \cdot \sqrt{r^2+-r^2+-2^2}} \\ \cos 60^{\circ} & = \dfrac{1r + 1-r + -r-2}{\sqrt{2+r^2} \cdot \sqrt{2r^2+4}} \\ \dfrac12 & = \dfrac{2r}{\sqrt{2r^4+8r^2+8}} \\ 4r & = \sqrt{2r^4+8r^2+8} \\ & \text{Kuadratkan}~\text{kedua ruas} \\ 16r^2 & = 2r^4+8r^2+8 \\ 0 & = 2r^4-8r^2+8 \\ 0 & = r^4-4r^2+4 \\ 0 & = r^2-2r^2-2 \end{aligned}$$Didapat $r^2 = 2 \Leftrightarrow r = \pm \sqrt2$ Karena $r$ dikatakan bernilai positif, maka $\boxed{r = \sqrt2}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 21 Diketahui vektor $\vec u =0,2,2$ dan $\vec v =-2,0,2$. Proyeksi vektor ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\widehat i+\widehat k$ B. $-\widehat i+ \dfrac12 \widehat k$ C. $-\widehat i- \widehat k$ D. $-2i+ \widehat k$ E. $2\widehat i- \widehat k$ Pembahasan Proyeksi ortogonal vektor $\vec u$ pada $\vec v$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec u_{\vec v} = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {\vec v^2} \cdot \vec v}$ Untuk $\vec u = 0,2,2$ dan $\vec v =-2,0,2,$ diperoleh $$\begin{aligned} \vec u_{\vec v} & = \dfrac{0,2,2 \bullet -2,0,2} {\sqrt{-2^2+0^2+2^2}^2} \cdot -2,0,2 \\ & = \dfrac{0-2+20+22} {4+4} \cdot -2,0,2 \\ & = \dfrac{4}{8} \cdot -2,0,2 \\ & = -1,0,1 \end{aligned}$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec u = 0,2,2$ pada $\vec v=-2,0,2$ adalah $-1,0,1$ atau bila dinyatakan dalam vektor komponen menjadi $\boxed{-\widehat i + \widehat k}$ Jawaban A [collapse] Soal Nomor 22 Proyeksi ortogonal vektor $\vec a = 4\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ pada $\vec b = 2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{13}{14}2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ B. $\dfrac{15}{14}2\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ C. $\dfrac872\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ D. $\dfrac972\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}$ E. $4\widehat{i}+2\widehat{j}+6\widehat{k}$ Pembahasan Proyeksi ortogonal vektor $\vec a$ pada $\vec b$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec a_{\vec b} = \dfrac{\vec a \bullet \vec b} {\vec b^2} \cdot \vec b}$ Untuk $\vec a = 4,1,3$ dan $\vec b =2,1,3$, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a_{\vec b} & = \dfrac{4,1,3 \bullet 2,1,3} {\sqrt{2^2+1^2+3^2}^2} \cdot 2,1,3 \\ & = \dfrac{42+11+33} {4+1+9} \cdot 2,1,3 \\ & = \dfrac{18}{14} \cdot 2,1,3 \\ & = \dfrac972\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k} \end{aligned}$$Jadi, proyeksi ortogonal vektor $\vec a = 4,1,3$ pada $\vec b=2,1,3$ adalah $\boxed{\dfrac972\widehat{i}+\widehat{j}+3\widehat{k}}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 23 Diketahui vektor $\vec a = \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k}$ dan $\vec b = 8\widehat{i}+m\widehat{k}$. Panjang proyeksi vektor $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\dfrac{1}{5}\vec a$. Vektor proyeksi ortogonal $\vec b$ pada $\vec a$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-\dfrac85 \widehat i-5\widehat j+\dfrac65 \widehat k$ B. $\widehat i+2 \widehat j+5 \widehat k$ C. $\widehat i+5\widehat j+2\widehat k$ D. $\dfrac15 \widehat i- \widehat j+\dfrac25 \widehat k$ E. $\dfrac15 \widehat i+\widehat j+2\widehat k$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 1,-5, 2 \\ \vec b & = 8,0,m \\ \vec b_{\vec a} & = \dfrac15\vec a \end{aligned}$ Akan dicari nilai $m$ dengan menggunakan rumus panjang proyeksi vektor. $$\begin{aligned} \vec b_{\vec a} & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{\vec a} \\ \dfrac15\vec a & = \dfrac{8,0,m \bullet 1,-5,2}{\vec a} \\ \dfrac15\sqrt{1^2+-5^2+2^2} & = \dfrac{81+0-5+m2}{\sqrt{1^2+-5^2+2^2}} \\ \dfrac15\sqrt{30} & = \dfrac{8+2m}{\sqrt{30}} \\ 40+10m & = 30 \\ 10m & =-10 \\ m & =-1 \end{aligned}$$Dengan demikian, vektor proyeksi $\vec b$ pada $\vec a$ dinyatakan oleh $\begin{aligned} \vec b_{\vec a} & = \dfrac{\vec b \bullet \vec a}{\vec a^2} \cdot \vec a \\ & = \dfrac{8+2m}{\sqrt{30}^2} \cdot \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} \\ & = \dfrac{8+2-1}{30} \cdot \widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} \\ & = \dfrac15\widehat{i}-5\widehat{j}+2\widehat{k} \\ & = \;\boxed{\dfrac15\widehat{i}-\widehat{j}+\dfrac25\widehat{k}}\end{aligned}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 24 Diketahui bahwa $\vec a=\sqrt{3},\vec b=1$, dan $\vec a-\vec b=1$. Panjang vektor $\vec a + \vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt3$ D. $2\sqrt2$ B. $\sqrt5$ E. $3$ C. $\sqrt7$ Pembahasan Dengan menerapkan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a-\vec b & = 1 \\ \sqrt{\vec a^2 + \vec b^2- 2\vec a\vec b \cos \theta} & = 1 \\ \text{Kuadratkan kedua ruas} & \\ \vec a^2 + \vec b^2-2\vec a\vec b \cos \theta & = 1 \\ \sqrt3^2 + 1^2-2\sqrt31 \cos \theta & = 1 \\ 4-2\sqrt3 \cos \theta & = 1 \\ \cos \theta & = \dfrac{-3}{-2\sqrt3} \\ \cos \theta & = \dfrac{3}{2\sqrt3} \end{aligned}$$Dengan demikian, $$\begin{aligned} \vec a + \vec b & = \sqrt{\vec a^2 + \vec b^2 + 2\vec a\vec b \cos \theta} \\ & = \sqrt{\sqrt3^2 + 1^2 + \cancel{2\sqrt3}1 \times \dfrac{3}{\cancel{2\sqrt3}}} \\ & = \sqrt{3+1+3} =\sqrt7 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec a + \vec b$ adalah $\boxed{\sqrt7}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 25 Misalkan panjang vektor $\vec a$ adalah $1$ dan panjang vektor $\vec b$ adalah 4 serta $\vec a \bullet \vec b =3$. Panjang vektor $2 \vec a- \vec b$ adalah $\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ D. $\sqrt3$ B. $2\sqrt2$ E. $2\sqrt3$ C. $3$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 1 \\ \vec b & = 4 \\ \vec a \bullet \vec b & = 3 \end{aligned}$ Kosinus sudut antara $\vec a$ dan $\vec b$ dinyatakan oleh $\cos \theta = \dfrac{\vec a \bullet \vec b}{\vec a \cdot \vec b} = \dfrac{3}{1 \cdot 4}= \dfrac34$ Karena $\vec {2a}$ merupakan perpanjangan dari $\vec a$, maka sudut yang terbentuk oleh $\vec {2a}$ dan $\vec b$ sama dengan sudut yang terbentuk oleh $\vec a$ dan $\vec b$, yaitu $\theta$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} 2\vec a-\vec b & = \sqrt{2a^2+b^2-22ab \cos \theta} \\ & = \sqrt{21^2 + 4^2-22\cancel{4} \dfrac{3}{\cancel{4}}} \\ & = \sqrt{4+16-12} = \sqrt8 = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $2 \vec a- \vec b$ adalah $\boxed{2\sqrt2}$ Jawaban B [collapse] Soal Nomor 26 Diketahui vektor $\vec a =2,-2\sqrt2,4, \vec b = -1,p,q$, dan $\vec c=3,\sqrt2,-1$. Jika vektor $\vec a$ berlawanan arah dengan vektor $\vec b$, nilai $\vec a- \vec b \bullet \vec b- \vec c = \cdots \cdot$ A. $-18$ D. $6$ B. $-12$ E. $18$ C. $-6$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 2,-2\sqrt2,4 \\ \vec b & = -1, p, q \\ \vec c & = 3,\sqrt2,-1 \end{aligned}$ Karena $\vec a$ berlawanan arah dengan $\vec b$, maka haruslah ada skalar $k < 0$ sehingga memenuhi $\vec a = k\vec b \Rightarrow 2,-2\sqrt2, 4 = k-1,p,q.$ Dari absis, kita peroleh $2 =-k \Leftrightarrow k =-2.$ Dengan demikian, $-2\sqrt2 =-2p \Leftrightarrow p = \sqrt2$ dan $4 =-2q \Leftrightarrow q =-2$ sehingga $\vec b = -1, \sqrt2,-2.$ Untuk itu, $\begin{aligned} & \vec a- \vec b \bullet \vec b- \vec c \\ & = [2,-2\sqrt2, 4- -1, \sqrt2,-2] \\ & \bullet [-1, \sqrt2,-2- 3, \sqrt2,-1] \\ & = 3,-3\sqrt2, 6 \bullet -4, 0,-1 \\ & = 3-4 + -3\sqrt20 + 6-1 \\ & =-12 + 0- 6 =-18 \end{aligned}$ Jadi, nilai $\boxed{\vec a- \vec b \bullet \vec b- \vec c=-18}$ Catatan Skalar yang dimaksud di sini adalah bilangan real. Jawaban A [collapse] Soal Nomor 27 Jika $\vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}$ dan $\vec a-\vec b = \sqrt{14}$, maka $\vec a \bullet \vec b = \cdots \cdot$ A. $0$ C. $\dfrac12$ E. $2$ B. $\dfrac14$ D. $1$ Pembahasan Karena $\vec a + \vec b= \widehat{i}-\widehat{j}+4\widehat{k}$, maka panjangnya adalah $\begin{aligned} \vec a + \vec b & = \sqrt{1^2+-1^2+4^2} \\ & = \sqrt{18} \end{aligned}$ Perhatikan bahwa, $$\begin{aligned} \vec a- \vec b^2 & = \vec a^2 + \vec b^2- 2\vec a\vec b \cos \theta = 14 \\ \vec a + \vec b^2 & = \vec a^2 + \vec b^2 + 2\vec a\vec b \cos \theta = 18 \end{aligned}$$Kurangi kedua persamaan di atas sehingga diperoleh $\begin{aligned}-4\vec a\vec b \cos \theta & =-4 \\ \vec a\vec b \cos \theta & = 1 \\ \vec a \bullet \vec b & = 1 \end{aligned}$ Jadi, perkalian titik dari vektor $\vec a$ dan $\vec b$ adalah $\boxed{\vec a \bullet \vec b = 1}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 28 Diketahui vektor $\vec k=9,0,-6, \vec l=2,4,-1$, $\vec m =2,1,2$, dan $\vec n=1,-3,-2$. Jika $\vec k = a \vec l + b \vec m + c \vec n$, maka $2a+5b-7c=\cdots \cdot$ A. $-12$ C. $0$ E. $12$ B. $-5$ D. $1$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec k & = 9,0,-6 \\ \vec l & =2,4,-1 \\ \vec m & =2,1,2 \\ \vec n & =1,-3,-2 \end{aligned}$ Dengan menggunakan operasi penjumlahan pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec k & = a \vec l + b \vec m + c \vec n \\ 9, 0,-6 & = a2,4,-1+b2,1,2+c1,-3,-2 \\ 9, 0,-6 & = 2a+2b+c, 4a+b-3c,-a+2b-2c \end{aligned}$$Dari sini, diperoleh SPLTV $\begin{cases} 2a+2b+c = 9 \\ 4a+b-3c = 0 \\-a+2b-2c=-6 \end{cases}$ SPLTV di atas dapat diselesaikan dengan banyak cara seperti Metode Substitusi/Eliminasi, Aturan Cramer, Aturan Invers, Eliminasi Gauss/Jordan, dan sebagainya. Penyelesaian SPLTV di atas adalah $a=2, b=1,c=3$. Untuk itu, $\begin{aligned} 2a+5b-7c & =22+51-73\\ & =4+5-21=-12 \end{aligned}$ Jadi, nilai dari $\boxed{2a+5b-7c=-12}$ Jawaban A [collapse] Baca Juga Soal dan Pembahasan- SPLTV Soal Nomor 29 Jika $\vec u + \vec v$ tegak lurus dengan $\vec u-\vec v$, maka pernyataan berikut ini yang paling tepat adalah $\cdots \cdot$ A. $\vec u + \vec v=\vec u-\vec v$ B. $\vec u=\vec v$ C. $\vec u = \vec v$ D. arah $\vec u$ = arah $\vec v$ E. $\vec u$ tegak lurus dengan $\vec v$ Pembahasan Karena $\vec u + \vec v$ tegak lurus dengan $\vec u-\vec v$, maka berlaku $\begin{aligned} \vec u + \vec v \bullet \vec u + \vec v & = 0 \\ \vec u \bullet \vec u-\vec v \bullet \vec v & = 0 \\ \vec u^2 \cos 0^{\circ}-\vec v^2 \cos 0^{\circ} & = 0 \\ \vec u^2 & = \vec v^2 \end{aligned}$ Karena masing-masing $\vec u$ dan $\vec v$ menyatakan panjang vektor, maka nilainya tak mungkin negatif sehingga didapat $\vec u = \vec v$. Jawaban B [collapse] Soal Nomor 30 Diketahui titik $A2,1,-4,B2,-4,6$, dan $C-2,5,4$. Titik $P$ membagi $AB$ sehingga $APPB=32$. Vektor yang diawali oleh $\vec{PC}$ adalah $\cdots \cdot$ A. $-4,3,-6$ D. $4,-7,-2$ B. $-4,-7,2$ E. $-4,7,2$ C. $-4,3,6$ Pembahasan Titik $P$ berada pada $AB$ dengan $AP PB = 3 2$ sehingga koordinat titik $P$ dapat ditentukan sebagai berikut. 1 Absis $\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{3+2}2x_A + 3x_B \\ & = \dfrac1522+32 = 2 \end{aligned}$ 2 Ordinat $\begin{aligned} y_P & = \dfrac{1}{3+2}2y_A + 3y_B \\ & = \dfrac1521+3-4 =-2 \end{aligned}$ 3 Aplikat $\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{3+2}2z_A + 3z_B \\ & = \dfrac152-4+36 = 2 \end{aligned}$ Jadi, koordinat titik $P$ adalah $2,-2, 2$. Dengan demikian, $$\boxed{\begin{aligned} \vec PC & = C- P = -2, 5, 4-2,-2, 2 \\ & = -4, 7, 2 \end{aligned}}$$Jawaban E [collapse] Soal Nomor 31 $ABCD$ adalah segi empat sembarang. Titik $S$ dan $T$ masing-masing titik tengah $AC$ dan $BD$. Jika $\vec{ST} = u$, maka $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec{CD} = \cdots \cdot$ A $\vec u$ D. $4 \vec u$ B. $2 \vec u$ E. $8 \vec u$ C. $3 \vec u$ Pembahasan Cara 1 Perhatikan bahwa $\begin{aligned} \vec{AB} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{AD} & = \vec {AS} + \vec {ST} + \vec {TD} \\ \vec{CB} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TB} \\ \vec{CD} & = \vec {CS} + \vec {ST} + \vec {TD} \end{aligned}$ Karena $T$ titik tengah $BD$, maka $\vec {TB}$ dan $\vec{TD}$ memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan sehingga $\vec{TB} =-\vec{TD}$. Karena $S$ titik tengah $AC$, maka $\vec {AS}$ dan $\vec{CS}$ juga memiliki panjang yang sama dan arahnya berlawanan sehingga $\vec{AS} =-\vec{CS}$. Dengan demikian, apabila keempat persamaan di atas dijumlah, diperoleh $\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} = 4\vec{ST} = 4\vec u.$ Cara 2 Misal vektor posisi titik $A,B,C,D$ berturut-turut adalah $\vec a, \vec b, \vec c, \vec d$. Karena $S$ di tengah $AC$, maka vektor posisi $S$ adalah $\vec s = \dfrac{\vec a + \vec c}{2}$, dan juga karena $T$ di tengah $BD$, maka vektor posisi $T$ adalah $\vec t = \dfrac{\vec b + \vec d}{2}$. Dengan demikian, $\vec{ST} = \vec u = \vec t-\vec s = \dfrac{\vec b+\vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}.$ Ini berarti, $$\begin{aligned} & \vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} \\ & = \vec b- \vec a + \vec d-\vec a + \vec b-\vec c + \vec d-\vec c \\ & = 2\vec b + \vec d-2\vec a + \vec c \\ & = 4\left\dfrac{\vec b+ \vec d}{2}-\dfrac{\vec a+ \vec c}{2}\right = 4\vec u \end{aligned}$$Jadi, $\boxed{\vec{AB} + \vec{AD} + \vec{CB} +\vec {CD} =4 \vec u}$ Jawaban D [collapse] Soal Nomor 32 Diketahui tiga buah vektor, yakni $\vec u = 3\widehat i-\widehat j+2 \widehat k, \vec v = \widehat i + n \widehat j-2\widehat k$, dan $\vec w = \widehat i + m\widehat j-p \widehat k$ saling tegak lurus. Nilai $m+n+p=\cdots \cdot$ A. $\dfrac12$ C. $1\dfrac12$ E. $2\dfrac12$ B. $1$ D. $2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec u & = 3,-1, 2 \\ \vec v & = 1, n,-2 \\ \vec w & = 1, m,-p \end{aligned}$ Karena $\vec u$ dan $\vec v$ saling tegak lurus, maka $\begin{aligned} \vec u \bullet \vec v & = 0 \\ 3,-1,2 \bullet 1,n,-2 & = 0 \\ 31 + -1n+2-2 & = 0 \\ 3-n-4 & = 0 \\ n & =-1 \end{aligned}$ Ini berarti, $\vec v = 1,-1,-2$. Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka $\begin{aligned} \vec u \bullet \vec w & = 0 \\ 3,-1,2 \bullet 1,m,-p & = 0 \\ 31 + -1m+2-p & = 0 \\ 3-m-2p & = 0 \\ m+2p = 3 \end{aligned}$ Karena $\vec u$ dan $\vec w$ saling tegak lurus, maka $\begin{aligned} \vec v \bullet \vec w & = 0 \\ 1,-1,-2 \bullet 1,m,-p & = 0 \\ 11 + -1m+-2-p & = 0 \\ 1-m+2p & = 0 \\-m+2p =-1 \end{aligned}$ Diperoleh SPLDV $\begin{cases} m+2p = 3 \\-m+2p=-1 \end{cases}$ yang memiliki penyelesaian $m = 2$ dan $p = \dfrac12$. Jadi, nilai $\boxed{m+n+p=2+-1+\dfrac12 = 1\dfrac12}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 33 Jika $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$, $a = 3$, $b = 5$, dan $c = 7$, maka besar sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sama dengan $\cdots \cdot$ A. $\dfrac{\pi}{6}$ C. $\dfrac{\pi}{3}$ E. $\dfrac{2\pi}{3}$ B. $\dfrac{\pi}{4}$ D. $\dfrac{\pi}{2}$ Pembahasan Perhatikan bahwa $\vec{a}+\vec{b}+\vec{c} = 0$ ekuivalen dengan $\vec{a} + \vec{b} = -\vec{c}$ dengan representasi gambarnya berupa segitiga sembarang sebagai berikut. Misalkan sudut yang dibentuk oleh $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\theta$, maka dengan menggunakan aturan kosinus, diperoleh $\begin{aligned} c^2 & = a^2 + b^2-2a b \cos \theta \\ 7^2 & = 3^2+5^2-235 \cos \theta \\ 49 & = 9+25-30 \cos \theta \\ 49 & = 34-30 \cos \theta \\ 15 & = -30 \cos \theta \\ \cos \theta & = -\dfrac{15}{30} = -\dfrac12 \end{aligned}$ Diperoleh $\theta = 120^{\circ}$ atau $\theta = \dfrac{2\pi}{3}$. Jadi, besar sudut antara $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ sama dengan $\boxed{\dfrac{2\pi}{3}}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 34 Diberikan vektor $\vec{u} = a,b,c$ dan $\vec{v} = b, a, 3$. Jika $\vec {u} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2$ dan $\vec{u}-\vec{v}^2 = 5$, maka nilai $c^3+2c+2$ yang mungkin adalah $\cdots \cdot$ A. $-2$ C. $2$ E. $14$ B. $-1$ D. $5$ Pembahasan Diketahui $\vec{u} = a,b,c~~~~\vec{v} = b, a, 3$. Karena $\vec {u} \cdot \vec{v} = \vec{u}^2$, maka berdasarkan definisi perkalian skalar vektor dan panjang vektor, diperoleh persamaan $$\begin{aligned} ab + ab + 3c & = a^2+b^2+c^2 \\ \color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c} & = 0 \end{aligned}$$Karena $\vec{u}-\vec{v}^2 = 5$, maka kita peroleh $$\begin{aligned} a-b^2+b-a^2+c-3^2 & = 5 \\ 2a-b^2 + c-3^2 & = 5 \\ 2a^2-4ab+2b^2+c^2-6c+9 & = 5 \\ 2a^2+2b^2+c^2-4ab-6c & =-4 \\ 2\color{blue}{a^2+b^2+c^2-2ab-3c}-c^2 & =-4 \\ 20-c^2 & =-4 \\ c & = \pm 2 \end{aligned}$$Untuk $c = 2$, diperoleh $c^3+2c+2 = 2^3+22+2 = 14.$ Untuk $c=-2$, diperoleh $\begin{aligned} c^3+2c+2 & = -2^3+2-2+2 \\ & =-10. \end{aligned}$ Jadi, nilai $c$ yang mungkin adalah $\boxed{14~\text{atau}~-10}$ Jawaban E [collapse] Soal Nomor 35 Diketahui vektor-vektor $\vec u = b\widehat{i}+a\widehat{j}+9\widehat{k}$ dan $\vec v = a\widehat{i}-b\widehat{j}+a\widehat{k}$. Sudut antara vektor $\vec u$ dan $\vec v$ adalah $\theta$ dengan $\cos \theta = \dfrac{6}{11}$. Proyeksi ortogonal $\vec u$ pada $\vec v$ adalah $\vec p = 4\widehat{i}-2\widehat{j}+4\widehat{k}$. Nilai dari $b=\cdots \cdot$ A. $\sqrt2$ D. $4$ B. $2$ E. $4\sqrt2$ C. $2\sqrt2$ Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec u & = b, a, 9 \\ \vec v & = a,-b, a \\ \angle\vec u, \vec v & = \theta \\ \cos \theta & = \dfrac{6}{11} \\ \vec u_{\vec v} & = \vec p = 4,-2, 4 \end{aligned}$ Misalkan $n = \dfrac{\vec u \bullet \vec v} {\vec v^2}$. Dengan menggunakan rumus proyeksi ortogonal vektor, didapat $\begin{aligned} \vec u _{\vec v} & = n \cdot \vec v \\ 4,-2,4 & = na,-b, a \\ 4,-2,4 & = na,-nb, an \end{aligned}$ Dari sini, diperoleh $4=na$ dan $-2=-nb$. Kedua persamaan di atas dapat ditulis menjadi $n = \dfrac{a}{4}$ dan $n = \dfrac{2}{b}.$ Untuk itu, $\dfrac{a}{4} = \dfrac{2}{b} \Leftrightarrow a = 2b.$ Selanjutnya, dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, didapat $$\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec u \bullet \vec v}{\vec u \cdot \vec v} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{b, a, 9 \bullet a,-b, a}{\sqrt{b^2+a^2+9^2} \cdot \sqrt{a^2 + -b^2 + a^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{ab- ab + 9a}{\sqrt{a^2+b^2+81} \cdot \sqrt{2a^2 + b^2}} \\ & \text{Substitusikan}~a = 2b \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{92b}{\sqrt{2b^2+b^2+81} \cdot \sqrt{22b^2 +b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{18b}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \sqrt{9b^2}} \\ \dfrac{6}{11} & = \dfrac{\cancelto{6}{18b}}{\sqrt{5b^2+81} \cdot \cancel{3b}} \\ 11 & = \sqrt{5b^2+81} \\ 121 & = 5b^2+81 \\ b^2 & = \dfrac{121-81}{5} = 8 \\ b & = 2\sqrt2 \end{aligned}$$Jadi, nilai $b$ adalah $\boxed{2\sqrt{2}}$ Jawaban C [collapse] Soal Nomor 36 Bangun $ABCD$ berikut merupakan trapesium dengan $AE=FB$. Jika $\vec{AB} = 3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}$ dan $\vec{AD} = \vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}$, maka $\vec{DC} = \cdots \cdot$ A. $\dfrac{4}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ B. $\dfrac{13}{34}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ C. $\dfrac{13}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ D. $\dfrac{5}{11}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ E. $\dfrac{2}{11}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right$ Pembahasan Diketahui $\vec{AB} = 3, -3, 4$ dan $\vec{AD} = 1, -2, 1$. Proyeksi vektor ortogonal $\vec{AD}$ pada $\vec{AB}$ dinyatakan oleh $$\begin{aligned} \vec{AE} & = \dfrac{\vec{AD} \bullet \vec{AB}}{\vec{AB}^2} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{1, -2, 1 \bullet 3, -3, 4}{3^2+-3^2+4^2} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{1 \cdot 3 + -2 \cdot -3 + 1 \cdot 4}{9+9+16} \cdot \vec{AB} \\ & = \dfrac{13}{34} \cdot \vec{AB} \end{aligned}$$Dengan demikian, didapat $$\begin{aligned} \vec{DC} & = \vec{EF} \\ & = \vec{AB}-\vec{AE}-\vec{FB} \\ & = \vec{AB}-2\vec{AE} && \vec{AE} = \vec{FB} \\ & = \vec{AB}-2 \cdot \dfrac{13}{34} \vec{AB} \\ & = \left1-\dfrac{13}{17}\right \vec{AB} \\ & = \dfrac{4}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right \end{aligned}$$Jadi, vektor $DC$ dinyatakan oleh $\boxed{\vec{DC} = \dfrac{4}{17}\left3\vec{i}-3\vec{j}+4\vec{k}\right}$ Jawaban A [collapse] Bagian Uraian Soal Nomor 1 Diketahui $ABCDEF$ adalah segi enam beraturan dengan pusat $O.$ Jika vektor $\vec{AB} = \vec{u}$ dan $\vec{AF} = \vec{v},$ tentukan vektor-vektor di bawah ini dalam $\vec{u}$ dan $\vec{v}.$ a. $\vec{OA}$ b. $\vec{AE}$ c. $\vec{AD}$ Pembahasan Jawaban a Diketahui $\vec{AB} = \vec u$ dan $\vec{AF} = \vec v$. Dengan demikian, $\vec{OF} = -\vec{AB} = -\vec u.$ Untuk itu, $\begin{aligned} \vec{OA} & = \vec{OF} + \vec{FA} \\ & = \vec{OF}-\vec{AF} \\ & = -\vec u -\vec v \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{OA} = -\vec u-\vec v}$ Jawaban b Diketahui $\vec{AF} = \vec v$. Dari jawaban a di atas, diketahui juga bahwa $\vec{OA} = \vec{EF} = -\vec u-\vec v.$ Untuk itu, $\begin{aligned} \vec{AE} & = \vec{AF} + \vec{FE} \\ & = \vec{AF}-\vec{EF} \\ & = \vec v-\vec u-\vec v = 2 \vec v+\vec u \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AE} = 2 \vec v+\vec u}$ Jawaban c Dari jawaban a di atas, diketahui bahwa $\vec{OA} = -\vec u- \vec v$ sehingga $\vec{AO} = \vec v+\vec u.$ Karena $\vec{AO} = \vec{OD}$ memiliki arah dan nilai yang sama, maka $\begin{aligned} \vec{AD} & = \vec{AO} + \vec{OD} \\ & = \vec{AO} + \vec{AO} \\ & = 2\vec{AO} = 2\vec v+\vec u \end{aligned}$ Jadi, diperoleh $\boxed{\vec{AD} = 2\vec v+\vec u}$ [collapse] Soal Nomor 2 Pada persegi panjang $OPQR$, diketahui $M$ titik tengah $QR$ dan $N$ titik tengah $PR$. Jika $\vec u = \vec{OP}$ dan $\vec v = \vec{OQ}$, nyatakan $\vec{MN}$ dalam $\vec u$ dan $\vec v$. Pembahasan Perhatikan sketsa gambar berikut. Diketahui $\begin{aligned} \vec{OP} & = \vec u \\ \vec{OQ} & = \vec v \end{aligned}$ Perhatikan vektor $QP$. Jumlah dari vektor $QO$ dan $OP$ sama dengan $\vec{QP}$ sehingga $\begin{aligned} \vec{QP} & = \vec{QO} + \vec{OP} \\ & =-\vec{OQ} + \vec{OP} \\ & =-\vec v + \vec u \end{aligned}$ Karena panjang $\vec{MN}$ setengah dari panjang $\vec{QP}$, maka $\boxed{\vec{MN} = \dfrac12-\vec v + \vec u}$ [collapse] Soal Nomor 3 Given vectors $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. If vectors $\vec a + \vec b$ is perpendicular to $\vec a$, find the unit vector which has the same direction as $\vec b$. Diberikan vektor $\vec a = 2\widehat i-\widehat j + 2 \widehat k$ and $\vec b = 4\widehat i-x \widehat j-8 \widehat k$. Jika vektor $\vec a + \vec b$ tegak lurus dengan $\vec a$, tentukan vektor satuan yang memiliki arah yang sama dengan $\vec b$. Pembahasan Diketahui $\begin{aligned} \vec a & = 2,-1, 2 \\ \vec b & = 4,-x,-8 \end{aligned}$ Karena vektor $\vec a + \vec b$ tegak lurus dengan $\vec a$, maka $$\begin{aligned} \vec a + \vec b \bullet \vec a & = 0 \\ [2,-1, 2 + 4,-x,-8 \bullet 2,-1, 2 & = 0 \\ 6,-1-x,-6 \bullet 2,-1, 2 & = 0 \\ 62 + -1-x-1 + -62 & = 0 \\ \cancel{12} + 1 + x-\cancel{12} & = 0 \\ 1+x & = 0 \\ x & =-1 \end{aligned}$$Dengan demikian, vektor $b$ dinyatakan oleh $\vec b = 4,-1,-8 = 4, 1,-8.$ Untuk mencari vektor satuan yang searah dengan vektor $\vec b$, kita hanya perlu membagi tiap komponen vektor $\vec b$ dengan panjangnya. Diketahui panjang magnitude $\vec b$ adalah $\begin{aligned} \vec b & = \sqrt{4^2+1^2+-8^2} \\ & = \sqrt{16+1+64} = \sqrt{81} = 9 \end{aligned}$ Vektor satuan yang dimaksud adalah $\begin{aligned} \vec b_i & = \dfrac{\vec b}{\vec b} \\ & = \dfrac{1}{9}4, 1,-8 \\ & = \left\dfrac49, \dfrac19,-\dfrac89\right \end{aligned}$ Catatan Untuk mengecek apakah jawaban ini benar, kita hanya perlu mencari panjang vektor $\vec b_i$. Karena vektor satuan adalah vektor yang panjangnya 1, maka haruslah $\vec b_i = 1$. [collapse] Soal Nomor 4 Jika $\vec a = 10, \vec b = 6$, dan $\angle\vec a, \vec b = 60^{\circ}$, maka tentukan a. $\vec a + \vec b$; b. $\vec a-\vec b$; c. $2\vec a-\vec b$. Pembahasan Jawaban a Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, didapat $$\begin{aligned} \vec a + \vec b & = \sqrt{\vec a^2+\vec b^2+2\vec a\vec b \cos \angle\vec a, \vec b} \\ & = \sqrt{10^2+6^2+2106 \cos 60^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36+\cancel{2}60 \dfrac{1}{\cancel{2}}} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec a + \vec b$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban b Karena $\angle\vec a, \vec b = 60^{\circ}$, maka $\angle\vec a,-\vec b = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec a-\vec b & = \sqrt{\vec a^2+-\vec b^2+2\vec a-\vec b \cos \angle\vec a,-\vec b} \\ & = \sqrt{10^2+-6^2+210-6 \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{100+36-\cancel{2}60 \left-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right} \\ & = \sqrt{196} = 14 \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $\vec a-\vec b$ adalah $\boxed{14}$ Jawaban c Karena $\angle\vec a, \vec b = 60^{\circ}$, maka $\angle2\vec a,-\vec b = 180^{\circ}-60^{\circ} = 120^{\circ}$. Kelipatan skalar vektor tidak mengubah arahnya Dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $$\begin{aligned} 2\vec a-\vec b & = \sqrt{2 \vec a^2+-\vec b^2+22 \vec a-\vec b \cos \angle2 \vec a,-\vec b} \\ & = \sqrt{410^2+-6^2+2210-6 \cos 120^{\circ}} \\ & = \sqrt{400+36-\cancel{2}120 \left-\dfrac{1}{\cancel{2}}\right} \\ & = \sqrt{556} = 2\sqrt{139} \end{aligned}$$Jadi, panjang vektor $2\vec a,-\vec b$ adalah $\boxed{2\sqrt{139}}$ [collapse] Soal Nomor 5 Jika $\vec {a} = 1, \vec{b} = 9$, dan $\vec{a} \bullet \vec{b} = 5$, tentukan a. besar $\vec{a}-\vec{b}$; b. besar $2\vec{a}-3\vec{b}$. Pembahasan Jawaban a $$\begin{aligned} \vec{a}-\vec{b} & = \sqrt{\vec{a}-\vec{b}^2} \\ & = \sqrt{\vec{a} \bullet \vec{a}-2 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b}+\vec{b} \bullet \vec{b}} \\ & = \sqrt{\vec{a}^2-2 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b} + \vec{b}^2} \\ & = \sqrt{1^2-2 \cdot 5 + 9^2} \\ & = \sqrt{1-10+81} = \sqrt{72} = 6\sqrt2 \end{aligned}$$Jawaban b $$\begin{aligned} 2\vec{a}-3\vec{b} & = \sqrt{2\vec{a}-3\vec{b}^2} \\ & = \sqrt{4 \cdot \vec{a} \bullet \vec{a}-12 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b}+9 \cdot \vec{b} \bullet \vec{b}} \\ & = \sqrt{4\vec{a}^2-12 \cdot \vec{a} \bullet \vec{b} + 9\vec{b}^2} \\ & = \sqrt{41^2-12 \cdot 5 + 99^2} \\ & = \sqrt{4-60+729} = \sqrt{673} \end{aligned}$$ [collapse] Soal Nomor 6 Diberikan segitiga sama sisi dengan panjang sisi $4$ satuan seperti gambar. Tentukan hasil dari $\vec{a} \bullet \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$. Pembahasan Berdasarkan prinsip penjumlahan vektor, kita tahu bahwa $\vec{a} + \vec{c} = \vec{b}$ sehingga $\begin{aligned} \vec{a} \bullet \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} & = \vec{a} \bullet \vec{b} + \vec{b} \\ & = 2\vec{a} \bullet \vec{b} \end{aligned}$ Selanjutnya, akan dicari nilai $\vec{a} \bullet \vec{b}$ menggunakan aturan kosinus pada vektor $\cos \theta = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{\vec{a} \cdot \vec{b}}$. Besar sudut antara dua vektor itu adalah $60^{\circ}$ karena segitiga sama sisi dan panjang vektor $a$ dan $b$ masing-masing $4$ satuan. Untuk itu, $\begin{aligned} \cos 60^{\circ} & = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{4 \cdot 4} \\ \dfrac12 & = \dfrac{\vec{a} \bullet \vec{b}}{9} \\ \vec{a} \bullet \vec{b} & = 8 \end{aligned}$ Dengan demikian, diperoleh $\boxed{2\vec{a} \bullet \vec{b} = 28 = 16}$ [collapse] Soal Nomor 7 Diketahui koordinat $A0,4,6,B-2,0,4$, dan $C2,2,2$. Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP PB = 13$. Tentukan a. Koordinat $P$; b. Proyeksi vektor $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$; c. Proyeksi skalar $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$. Pembahasan Jawaban a Titik $P$ terletak pada $AB$ sedemikian sehingga $AP PB = 13$. Untuk itu, koordinat $P$ dapat ditentukan sebagai berikut. Absis $\begin{aligned} x_P & = \dfrac{1}{1+3}1x_B + 3x_A \\ & = \dfrac141-2+30 =-\dfrac12 \end{aligned}$ Ordinat $\begin{aligned} y_P \\ & = \dfrac{1}{1+3}1y_B + 3y_A \\ & = \dfrac1410+34 = 3 \end{aligned}$ Aplikat $\begin{aligned} z_P & = \dfrac{1}{1+3}1z_B + 3z_A \\ & = \dfrac1414+36 = \dfrac{11}{2} \end{aligned}$ Jadi, koordinat $P$ adalah $\boxed{\left-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right}$ Jawaban b Diketahui bahwa $\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A \\ & = \left-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right- 0, 4, 6 \\ & = \left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \\ \vec{AC} & = C- A \\ & = 2,2,2-0,4,6 \\ & =2,-2,-4 \\ \vec{AC}^2 & = 2^2+-2^2+4^2 = 24 \end{aligned}$ Dengan menggunakan rumus proyeksi vektor, didapat $$\begin{aligned} \vec{AP}_{\vec{AC}} & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{\vec{AC}^2} \cdot \vec{AC} \\ & = \dfrac{\left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \bullet 2,-2,-4}{24} \cdot 2,-2, 4 \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{24} \cdot 2,-2, 4 \\ & = \left\dfrac14,-\dfrac14, \dfrac12\right \end{aligned}$$Jadi, proyeksi vektor $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14 \widehat i- \dfrac14 \widehat j + \dfrac12 \widehat k}$ Jawaban c Diketahui bahwa $$\begin{aligned} \vec{AP} & = P- A = \left-\dfrac12, 3, \dfrac{11}{2}\right- 0, 4, 6 = \left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \\ \vec{AC} & = C- A = 2,2,2-0,4,6=2,-2,-4 \\ \vec{AC} & = \sqrt{2^2+-2^2+4^2} = \sqrt{24} = 2\sqrt6 \end{aligned}$$Dengan menggunakan rumus proyeksi skalar, didapat $$\begin{aligned} \vec{AP}_{\vec{AC}} & = \dfrac{\vec{AP} \bullet \vec{AC}}{\vec{AC}} \\ & = \dfrac{\left-\dfrac12,-1,-\dfrac12\right \bullet 2,-2,-4}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{-1 + 2 + 2}{2\sqrt6} \\ & = \dfrac{3}{2\sqrt6} \color{red}{\times \dfrac{\sqrt6}{\sqrt6}} \\ & = \dfrac{\cancel{3}\sqrt6}{2\cancelto{2}{6}} = \dfrac{1}{4}\sqrt6 \end{aligned}$$Jadi, proyeksi skalar $\vec{AP}$ pada $\vec{AC}$ adalah $\boxed{\dfrac14\sqrt{6}}$ [collapse] Soal Nomor 8 Diketahui balok $ dengan $\vec{OA} = 4, \vec{OC} = 3$, dan $\vec{OD} = 6$. Tentukan proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$. Pembahasan Perhatikan sketsa balok $ berikut. Karena $\vec{OA} = 4$ dan $\vec{OC} = \vec{AB} = 3$, maka dengan rumus Pythagoras, diperoleh $\begin{aligned} \vec{OB} & = \sqrt{\vec{OA}^2 + \vec{AB}^2} \\ & = \sqrt{4^2+3^2} = 5 \end{aligned}$ Misalkan $\vec{c}$ adalah proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$ sehingga $\vec{c} = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\vec{OB}}.$ Misalkan juga sudut antara $\vec{OB}$ dan $\vec{OF}$ adalah $\theta$ sehingga dengan menggunakan aturan kosinus pada vektor, diperoleh $\begin{aligned} \cos \theta & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\vec{OF} \cdot \vec{OB}} \\ \dfrac{\vec{OB}}{\cancel{\vec{OF}}} & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\cancel{\vec{OF}} \cdot \vec{OB}} \\ \vec{OB}^2 & = \vec{OF} \bullet \vec{OB} \end{aligned}$ Kembali pada rumus proyeksi skalar, diperoleh $\begin{aligned} \vec{c} & = \dfrac{\vec{OF} \bullet \vec{OB}}{\vec{OB}} \\ & = \dfrac{\vec{OB}^2}{\vec{OB}} \\ & = \vec{OB} = 5 \end{aligned}$ Jadi, proyeksi skalar $\vec{OF}$ pada $\vec{OB}$ adalah $\boxed{5}$ [collapse] Soal Nomor 9 Diketahui segi empat $ABCD$ dengan titik $P$ pada $AC$ sehingga $\vec{AP} = \dfrac13 \vec{AC}$ dan titik $Q$ pada $BD$ sehingga $\vec{BQ} = \dfrac13 \vec{BD}$. Buktikan bahwa $3\vec{PQ} = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC}.$ Pembahasan Perhatikan sketsa gambar segi empat $ABCD$ berikut. Dari gambar, $\color{blue}{\vec{AD} = \vec{AB} + \vec{BD}}$. Berdasarkan aturan penjumlahan vektor, diperoleh $$\begin{aligned} \vec{PQ} & = \vec{PA} + \vec{AD}+\vec{DQ} \\ \vec{PQ} & = -\dfrac13 \vec{AC} + \vec{AD}-\dfrac23 \vec{BD} \\ \text{Kalikan}&~\text{kedua ruas dengan}~3 \\ 3\vec{PQ} & = -\vec{AC} + 3\vec{AD}-2 \vec{BD} \\ 3\vec{PQ} & = \vec{AD} + 2\vec{AD}-2\vec{BD}-\vec{AC} \\ 3\vec{PQ} & = \vec{AD} + 2\color{blue}{\vec{AB} + \vec{BD}} -2\vec{BD}-\vec{AC} \\ 3\vec{PQ} & = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC} \end{aligned}$$Jadi, terbukti bahwa $$3\vec{PQ} = 2\vec{AB}+\vec{AD}-\vec{AC}.$$ $\blacksquare$ [collapse]

1 Diketahui matriks . Nilai determinan dari matriks (AB - C) adalah a. -7 b. -5 c. 2 d. 3 e. 12 Pembahasan: Det (AB - C) = (12.1) - (9.1) = 12 - 9 = 3 Jawaban: D 2. Diketahui matriks , invers matriks AB adalah Pembahasan: Jawaban: A 3. Matriks X yang memenuhi: adalah Pembahasan: Jawaban: C 4. Jika maka Det (AB + C

Ayo, persiapkan dirimu sejak dini dalam menghadapi UTBK 2021! Lihat latihan soal tryout UTBK Episode 1 tahun 2021 untuk mata pelajaran Matematika IPA. — Sudah mengikuti tyout UTBK 1 dari ruanguji? Nah, masih penasaran mengenai pembahasan soal-soalnya? Yuk, lihat latihan soal tryout UTBK Episode 1 tahun 2021 untuk mata pelajaran Matematika IPA berikut ini. Jangan lupa untuk mempelajari lagi materi yang belum kamu kuasai ya. 1. Suatu perusahaan memproduksi x unit barang dengan biaya ribu rupiah untuk tiap unit. Jika barang tersebut terjual habis dengan harga untuk tiap unit, maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah …. Pembahasan Misalkan fx menyatakan total biaya produksi x unit barang, g x menyatakan harga jual x unit barang dalam satuan ribu rupiah, dan hx menyatakan kentungan yang diperoleh atas penjualan x unit barang, maka diperoleh hasil-hasil sebagai berikut. Agar maksimum, nilai turunan pertama hx harus bernilai 0. Maka Diperoleh x = -1 atau x = 2. Karena x menyatakan jumlah barang dan nilainya tidak mungkin negatif atau pecahan, sehingga x yang diambil adalah x = 2. Dilakukan substitusi x = 2 ke hx, didapat Maka keuntungan maksimum yang diperoleh perusahaan tersebut adalah Jadi, jawabannya adalah B. 2. Sebuah balok memiliki panjang rusuk AB = 6 dan BC = CG = 4. Jika titik P terletak di tengah rusuk AB dan θ adalah sudut antara EP dan PG, maka nilai cosθ adalah …. Pembahasan Perhatikan gambar berikut ini! Perhatikan bahwa Sehingga Jadi, jawabannya adalah E. 3. Himpunan bilangan real x pada selang yang memenuhi memiliki bentuk Nilai dari adalah …. Pembahasan Perhatikan bahwa Pembuat nolnya adalah Maka didapat nilai-nilai x yang memenuhi adalah Didapat garis bilangannya sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaannya adalah maka didapat solusinya adalah Sehingga intervalnya adalah Akibatnya, Jadi, jawabannya adalahA. 4. Diketahui sebuah segitiga ABC dengan sudut B adalah 1050 dan sudut A adalah 150. Jika panjang AC adalah 5, maka panjang BC adalah …. Pembahasan Perhatikan gambar berikut ini! Dari gambar tersebut, didapat Dengan menggunakan aturan sinus, Jadi, jawabannya adalah E. 5. Diketahui vektor-vektor dan . Jika maka interval x yang memenuhi adalah …. Pembahasan Dari soal diketahui bahwa Maka Kemudian, karena , maka sehingga Lalu perhatikan bahwa dan juga Karena Sehingga didapat Pembuat nol dari bentuk di ruas kiri adalah Didapat garis bilangan sebagai berikut. Karena tanda pertidaksamaannya adalah maka solusinya adalah Namun, karena pada soaldiketahui maka diambil irisannya, yaitu Sehingga, interval x yang memenuhi adalah Jadi, jawabannya adalah B. 6. 25 26 27 576 676 Pembahasan Dengan menggunakan sifat-sifat pada eksponen, diperoleh sehingga Dengan demikian, kita peroleh Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 7. Diketahui sistem persamaan Jika sistem persamaan tersebut memiliki tepat satu penyelesaian, maka jumlah semua nilai m yangmungkin adalah …. – 32 – 20 – 16 – 8 – 4 Pembahasan Penyelesaian sistem persamaan pada soal dapat diselesaikan sebagai berikut. Karena sistem persamaan di atas meiliki tepat satu penyelesaian, maka nilai Sehingga Maka jumlah semua nilai m adalah -8. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 8. – 2 – 6 0 2 6 Pembahasan Ingat kembali beberapa sifat yang berlaku pada integral, yaitu Dengan menggunakan kedua sifat tersebut, diperoleh Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 9. Pembahasan Perhatikan bahwa Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah E. 10. Jika digeser sejauh a satuan ke kanan dan sejauh b satuan ke bawah, kemudian dicerminkan terhadap sumbu-y , bayangannya menjadi Nilai dari 3ab adalah …. – 15 – 12 – 10 – 6 0 Pembahasan Garis digeser sejauh a satuan ke kanan dan sejauh b satuan ke bawah, maka sehingga dan Dengan substitusi dan ke , maka bayangan garis hasil pergeseran diatas adalah Kemudian garis tersebut dicerminkan terhadap sumbu-y, maka Dengan substitusi ke , maka hasil pencerminan garis terhadap sumbu-y adalah Dengan demikian, kita peroleh Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 11. Diketahui sistem persamaan berikut. Jika maka nilai dari adalah …. Pembahasan Kita tuliskan dua persamaan yang ada pada soal, yaitu sebagai berikut. dan Eliminasi dengan cara berikut. Oleh karena itu, didapat nilai sebagai berikut. Dengan demikian, nilai dari adalah sebagai berikut. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 12. Sebuah lingkaran memiliki pusat p, q dengan jari-jari 12, dan menyinggung garis Nilai yang mungkin adalah …. Pembahasan Diketahui bahwa suatu lingkaran memiliki pusat p, q, jari-jari 12, dan menyinggung garis . Oleh karena itu, didapat sebagai berikut. Kemudian, garis dapat dituliskan sebagai Didapat nilai a, b, dan c sebagai berikut. a = 5 b = 12 c = – 13 Selanjutnya, dapat diperhatikan perhitungan di bawah ini. Terdapat dua kemungkinan yaitu Kemungkinan pertama Kemungkinan kedua Dengan demikian, nilai yang mungkin adalah -143 dan 169. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 13. Suku banyak habis dibagi dan dibagi bersisa 20. Nilai ab adalah …. – 16 – 4 4 8 16 Pembahasan Dapat diperhatikan pembagian polinomial berikut ini. Oleh karena itu, didapat persamaan berikut. Kemudian, diketahui bahwa Oleh karena itu, substitusi dan Dikarenakan . Akibatnya, diperoleh nilai ab sebagai berikut. Dengan demikian, nilai ab = 16. Jadi, jawaban yang tepat adalah E. 14. Seorang berkendara dengan kecepatan 100 km/jam selama satu jam pertama. Pada jam kedua, kecepatan berkurang menjadi seperlimanya. Demikian juga pada jam berikutnya. Jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah … km. 150 125 100 75 50 Pembahasan Dapat diperhatikan bahwa jarak yang ditempuh oleh seseorang pada jam pertama adalah 100 km. Kemudian, diketahui bahwa kecepatannya berkurang pada jam kedua. Akibatnya, jarak yang ditempuh orang tersebut pada jam kedua adalah Begitupun seterusnya sehingga jarak yang ditempuh orang tersebut dapat dituliskan sebagai berikut. Jarak yang ditempuh oleh seseorang tersebut membentuk deret geometri tak hingga dengan a = 100 dan r = sehingga dapat dituliskan sebagai berikut. Oleh karena itu, jarak terjauh yang dapat ditempuh orang tersebut adalah 125 km. Jadi, jawaban yang tepat adalah B. 15. Garis dirotasi searah jarum jam sebesar 1800 terhadap titik asal. Kemudian, digeser ke bawah sejauh b satuan dan ke kiri sejauh a satuan sehingga bayangannya menjadi . Nilai adalah …. Pembahasan Ingat bahwa jika suatu benda dirotasi sebesar searah jarum jam, maka sudut rotasinya diberi tanda negatif, sehingga menjadi Diketahui bahwa garis dirotasi sebesar 1800 searah jarum jam terhadap titik asal, maka bayangannya adalah sebagai berikut. Oleh karena itu, didapat nilai x dan y sebagai berikut. Akibatnya, garis menjadi Kemudian, digeser ke bawah sejauh b satuan dan ke kiri sejauh a satuan atau dapat dituliskan sebagai Didapat nilai x dan y berikut ini Akibatnya, garis menjadi Diketahui pada soal bahwa sama dengan Didapat dan Oleh karena itu, nilai dapat dihitung dengan cara sebagai berikut Dengan demikian, nilai Jadi, jawaban yang tepat adalah A. 16. maka nilai dari adalah …. Pembahasan Diketahui maka didapat Selanjutnya diketahui maka didapat Sehingga didapat Oleh karena itu didapat Dengan demikian, nilai dari adalah 0. Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 17. Misalkan fungsi f memenuhi untuk setiap Jika maka nilai dari adalah …. – 3 3 – 5 6 – 6 Pembahasan Ingat bahwa Jika f periodik dengan periode p, maka Suatu fungsi f adalah periodik jika terdapat suatu bilangan p sedemikian sehingga Karena periodik dengan periode 4. Sehingga berlaku Dengan menggunakan sifat integral di atas, maka Dengan demikian, nilai dari adalah 6. Jadi, jawaban yang tepat adalah D. 18. Dari angka-angka 1, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibentuk bilangan genap yang terdiri dari 3 digit berbeda. Banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 400 adalah …. 30 20 12 9 8 Pembahasan Diketahui angka-angka 1, 4, 5, 6, 8, 9. Misalkan bilangan yang akan dibentuk adalah a1a2a3. a1 adalah angka yang menempati ratusan, a2 adalah angka yang menempati puluhan, dan a3 adalah angka yang menempati satuan. Karena akan dibentuk bilangan genap, maka banyak angka yang menempati satuan yaitu a3 ada 3 angka 4, 6, 8 Kemudian bilangan yang dibentuk nilainya kurang dari 400, maka banyak angka yang menempati ratusan yaitu a1 ada 1 angka 1 Selanjutnya perhatikan bahwa bilangan terdiri dari 3 digit berbeda, maka banyak angka yang menempati puluhan yaitu a2 ada 4 angka yang tersisa Sehingga didapat Dengan demikian, banyak bilangan yang terbentuk yang nilainya kurang dari 400 adalah 12. Jadi, jawaban yang tepat adalah C. 19. Diketahui barisan aritmetika dengan Uk menyatakan suku ke-k. Jika Uk+2 = U2 + kU17 – 3, maka U1+U13 +U19+U35= …. Pembahasan Perhatikan bahwa Sehingga didapatkan Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah E. 20. Suku banyak dibagi bersisa Nilai dari adalah …. 32 48 – 26 – 48 – 52 Pembahasan Perhatikan bahwa Selanjutnya perhatikan pembagian berikut ini. Diketahui maka Sehingga didapatkan dan Dengan demikian, Jadi, jawaban yang tepat adalah A. UTBK memang masih akan dilaksanakan tahun depan, tapi nggak ada salahnya untuk kamu mencuri start dan mulai mempersiapkan diri sejak dini. Mau mengukur kemampuanmu dalam mengerjakan soal-soal UTBK? Tunggu tryout UTBK Episode 2 dari ruanguji!

Jawaban: k = - 1 atau k = 1 Perhatikan penjelasan berikut ya. Ingat kembali: → Jika vektor a adalah vektor satuan, maka |a| = 1 → Jika vektor a = (x , y z), maka |a| = √x²+y²+z² → Jika vektor a = p(x , y z), maka vektor a = (px, py, pz) → a² - b² = (a + b)(a - b) Diketahui : vektor a = k(1/√3, 1/√3, 1/√3) adalah vektor satuan → |a| = 1 Ditanya : nilai k = ?

Kelas 11 SMAInduksi MatematikaPenerapan Induksi MatematikaDengan induksi matematika, buktikan bahwa 1+3+5+7+...+2n-1 = n^2 berlaku untuk setiap n bilangan Induksi MatematikaInduksi MatematikaALJABARMatematikaRekomendasi video solusi lainnya0314Nilai sigma n=2 21 5n-6 = ...0356Notasi sigma yang ekuivalen dengan sigma k=1 10 2k^2+8k+...0616Tunjukkan bahwa untuk semua n bilangan asli berlaku 1^2+3...0455Dengan induksi matematik, buktikan bahwa 12+23+...+n...Teks videountuk melakukan pembuktian induksi matematika terdapat langkah-langkah berikut ini jika PPN merupakan pernyataan Nya maka pertama kita buktikan bahwa benar untuk N = 1 lalu kita asumsikan PN benar untuk n = k dan kita buktikan PN akan benar juga untuk n = k + 1 jika p k benar maka p k + 1 benar untuk X lebih besar sama dengan n sekarang kita lihat bahwa ini merupakan pernyataan nya untuk N = 1 kita lihat bahwa ini adalah s n dan 2 n min 1 ini adalah UN 1 akan = 1 maka kita untuk N = 1 di langkah pertama kita tinggal substitusikan satu ini ke 2 n min 1 = n kuadrat kita gantian dengan angka 1 menjadi 2 dikali 1 dikurang 1 = 1 kuadrat 2 dikurang 1 = 11 = 1, maka ini benar sekarang untuk Langkah kedua kita asumsikan bahwa PN benar untuk n = k p n nya adalah 13 + 5 + 7 + titik-titik + 2 n min 1 = N kuadrat untuk n = k kita ganti n nya menjadi 1 + 3 + 5 + 7 + titik-titik + 2 k min 1 = k kuadrat kita asumsikan bahwa ini benar maka untuk langkah ke-3 n = k + 1 sekarang kita memiliki 1 + 3 + 5 + 7 + titik-titik titik di 2 k min 1 Karena sekarang n = k + 1 maka dari itu kita akan menambahkan satu suku di belakang sehingga 2 k min 1 ini akan menjadi suku sebelumnya disini ditambah 2 kakaknya diganti jadi k + 1 dikurang 1 = disini k + 1 kuadrat lalu kita lihat dari Langkah kedua tadi kita sudah memiliki bahwa ini adalah k kuadrat sehingga dapat kita tulis di sini ka kwarda ditambah dengan 2 x + 1 dikurang 1 = X + 1 kuadrat Sekarang kita akan membuktikan bahwa ruas kiri akan sama dengan ruas kanan kita proses luas kirinya menjadi kuadrat ditambah 2 nya kita kalikan kedalam menjadi Plus Kakak + 2 min 1 = k kuadrat + 2 k + 1 lalu kita faktorkan k kuadrat + 2 k + 1 menjadi Cu + 1 dikali x + 1 = x + 1 * x + 1 adalah k + 1 kuadrat sekarang dapat kita lihat bahwa di ruas kanan pun k + 1 kuadrat maka dengan ruas kiri sama dengan ruas kanan ini sudah terbukti inilah jawabannya sampai jumpa di pembahasan soal selanjutnyaSukses nggak pernah instan. Latihan topik lain, yuk!12 SMAPeluang WajibKekongruenan dan KesebangunanStatistika InferensiaDimensi TigaStatistika WajibLimit Fungsi TrigonometriTurunan Fungsi Trigonometri11 SMABarisanLimit FungsiTurunanIntegralPersamaan Lingkaran dan Irisan Dua LingkaranIntegral TentuIntegral ParsialInduksi MatematikaProgram LinearMatriksTransformasiFungsi TrigonometriPersamaan TrigonometriIrisan KerucutPolinomial10 SMAFungsiTrigonometriSkalar dan vektor serta operasi aljabar vektorLogika MatematikaPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel WajibPertidaksamaan Rasional Dan Irasional Satu VariabelSistem Persamaan Linear Tiga VariabelSistem Pertidaksamaan Dua VariabelSistem Persamaan Linier Dua VariabelSistem Pertidaksamaan Linier Dua VariabelGrafik, Persamaan, Dan Pertidaksamaan Eksponen Dan Logaritma9 SMPTransformasi GeometriKesebangunan dan KongruensiBangun Ruang Sisi LengkungBilangan Berpangkat Dan Bentuk AkarPersamaan KuadratFungsi Kuadrat8 SMPTeorema PhytagorasLingkaranGaris Singgung LingkaranBangun Ruang Sisi DatarPeluangPola Bilangan Dan Barisan BilanganKoordinat CartesiusRelasi Dan FungsiPersamaan Garis LurusSistem Persamaan Linear Dua Variabel Spldv7 SMPPerbandinganAritmetika Sosial Aplikasi AljabarSudut dan Garis SejajarSegi EmpatSegitigaStatistikaBilangan Bulat Dan PecahanHimpunanOperasi Dan Faktorisasi Bentuk AljabarPersamaan Dan Pertidaksamaan Linear Satu Variabel6 SDBangun RuangStatistika 6Sistem KoordinatBilangan BulatLingkaran5 SDBangun RuangPengumpulan dan Penyajian DataOperasi Bilangan PecahanKecepatan Dan DebitSkalaPerpangkatan Dan Akar4 SDAproksimasi / PembulatanBangun DatarStatistikaPengukuran SudutBilangan RomawiPecahanKPK Dan FPB12 SMATeori Relativitas KhususKonsep dan Fenomena KuantumTeknologi DigitalInti AtomSumber-Sumber EnergiRangkaian Arus SearahListrik Statis ElektrostatikaMedan MagnetInduksi ElektromagnetikRangkaian Arus Bolak BalikRadiasi Elektromagnetik11 SMAHukum TermodinamikaCiri-Ciri Gelombang MekanikGelombang Berjalan dan Gelombang StasionerGelombang BunyiGelombang CahayaAlat-Alat OptikGejala Pemanasan GlobalAlternatif SolusiKeseimbangan Dan Dinamika RotasiElastisitas Dan Hukum HookeFluida StatikFluida DinamikSuhu, Kalor Dan Perpindahan KalorTeori Kinetik Gas10 SMAHukum NewtonHukum Newton Tentang GravitasiUsaha Kerja Dan EnergiMomentum dan ImpulsGetaran HarmonisHakikat Fisika Dan Prosedur IlmiahPengukuranVektorGerak LurusGerak ParabolaGerak Melingkar9 SMPKelistrikan, Kemagnetan dan Pemanfaatannya dalam Produk TeknologiProduk TeknologiSifat BahanKelistrikan Dan Teknologi Listrik Di Lingkungan8 SMPTekananCahayaGetaran dan GelombangGerak Dan GayaPesawat Sederhana7 SMPTata SuryaObjek Ilmu Pengetahuan Alam Dan PengamatannyaZat Dan KarakteristiknyaSuhu Dan KalorEnergiFisika Geografi12 SMAStruktur, Tata Nama, Sifat, Isomer, Identifikasi, dan Kegunaan SenyawaBenzena dan TurunannyaStruktur, Tata Nama, Sifat, Penggunaan, dan Penggolongan MakromolekulSifat Koligatif LarutanReaksi Redoks Dan Sel ElektrokimiaKimia Unsur11 SMAAsam dan BasaKesetimbangan Ion dan pH Larutan GaramLarutan PenyanggaTitrasiKesetimbangan Larutan KspSistem KoloidKimia TerapanSenyawa HidrokarbonMinyak BumiTermokimiaLaju ReaksiKesetimbangan Kimia Dan Pergeseran Kesetimbangan10 SMALarutan Elektrolit dan Larutan Non-ElektrolitReaksi Reduksi dan Oksidasi serta Tata Nama SenyawaHukum-Hukum Dasar Kimia dan StoikiometriMetode Ilmiah, Hakikat Ilmu Kimia, Keselamatan dan Keamanan Kimia di Laboratorium, serta Peran Kimia dalam KehidupanStruktur Atom Dan Tabel PeriodikIkatan Kimia, Bentuk Molekul, Dan Interaksi Antarmolekul

wBLfbe8.

gu761lwtj9.pages.dev/442

gu761lwtj9.pages.dev/108

gu761lwtj9.pages.dev/211

gu761lwtj9.pages.dev/173

gu761lwtj9.pages.dev/250

gu761lwtj9.pages.dev/61

gu761lwtj9.pages.dev/371

gu761lwtj9.pages.dev/366

diketahui bahwa 1 1 3